Questão 3.
(1.5pt) Descreva (eq reduzida, nome, principais elementos) o lugar geométrico dos pontos
tais que
.
(1.5pt) Descreva (eq reduzida, nome, principais elementos) o lugar geométrico dos pontos
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
que satisfazem
. O conteúdo envolvido é superfícies quádricas, e vamos completar quadrados em
,
e
para reduzir à forma canônica.
Passo 2
Começamos por
:
Passo 3
Em
:
Passo 4
Em
:
Passo 5
Substituindo na equação original e somando constantes:
$$
4(x+\tfrac12)2-1+2(y+1)2-2+\bigl[-(z-1)^2+1
4(x+\tfrac12)2+2(y+1)2-(z-1)^2+4=0
,4(x+\tfrac12)2+2(y+1)2-(z-1)^2=-4
$$
Passo 6
Multiplicando por
e dividindo por
, obtemos a forma canônica:
Isso nos permite identificar a superfície e seus elementos.
Passo 7
Da forma canônica concluímos que é um hiperbolóide de duas folhas, centrado em
, com eixo principal paralelo ao eixo
, e semieixos
(direção
),
(direção
) e
(direção
).
Resposta
Equação reduzida:
Nome: hiperbolóide de duas folhas.
Principais elementos: centro em