Questão 3.
(1.5pt) Descreva (eq reduzida, nome, principais elementos) o lugar geométrico dos pontos (x, y, z) tais que 4 x^2+2 y^2-z^2+4 x+4 y+2 z+6=0.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y,z) que satisfazem 4x^2+2y^2-z^2+4x+4y+2z+6=0. O conteúdo envolvido é superfícies quádricas, e vamos completar quadrados em x, y e z para reduzir à forma canônica.

Passo 2

Começamos por x:
4x^2+4x=4l(x^2+xr)=4l((x+tfrac12)^2-tfrac14r)=4(x+tfrac12)^2-1

Passo 3

Em y:
2y^2+4y=2l(y^2+2yr)=2l((y+1)^2-1r)=2(y+1)^2-2

Passo 4

Em z:
-z^2+2z=-l(z^2-2zr)=-l((z-1)^2-1r)=-(z-1)^2+1

Passo 5

Substituindo na equação original e somando constantes:
$$
4(x+\tfrac12)2-1+2(y+1)2-2+\bigl[-(z-1)^2+1
4(x+\tfrac12)2+2(y+1)2-(z-1)^2+4=0
4(x+tfrac12)^2-1+2(y+1)^2-2+l[-(z-1)^2+1
,4(x+\tfrac12)2+2(y+1)2-(z-1)^2=-4
$$

Passo 6

Multiplicando por -1 e dividindo por 4, obtemos a forma canônica:
(z-1)^24-(x+tfrac12)^21-(y+1)^22=1
Isso nos permite identificar a superfície e seus elementos.

Passo 7

Da forma canônica concluímos que é um hiperbolóide de duas folhas, centrado em (-tfrac12,-1,1), com eixo principal paralelo ao eixo z, e semieixos
a=1 (direção x), b=raiz2 (direção y) e c=2 (direção z).

Resposta

Equação reduzida:
(z-1)^24-(x+tfrac12)^21-(y+1)^22=1
Nome: hiperbolóide de duas folhas.
Principais elementos: centro em (-tfrac12,-1,1), eixo principal paralelo a z, semieixos de comprimento a=1, b=raiz2 e c=2.

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