Questão 1.(3.0pt) ESCOLHA e RESOLVA 2 ítems.
Pontos A, B, C são não colineares e O é tal que C O=32 A O+52 B O. Calcule alpha e beta tais que A O=alpha A B+beta A C.

Passo 1

O enunciado diz que dados pontos A, B e C não colineares e um ponto O satisfazendo CO=tfrac32,AO+tfrac52,BO, queremos escrever AO na base AB,AC. O conteúdo é decomposição de vetores em uma base não ortogonal, usando operações vetoriais e comparação de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos em termos de vetores posição: CO=vec O-vec C, AO=vec O-vec A e BO=vec O-vec B. Logo,
vec O-vec C=tfrac32(vec O-vec A)+tfrac52(vec O-vec B)
Desenvolvendo e agrupando os termos em vec O, vec A e vec B:
vec O-vec C=4vec O-tfrac32vec A-tfrac52vec B
Logo,
3vec O=tfrac32vec A+tfrac52vec B-vec CLongrightarrowvec O=tfrac12vec A+tfrac56vec B-tfrac13vec C

Passo 3

Agora calculamos AO:
AO=vec O-vec A=l(tfrac12vec A+tfrac56vec B-tfrac13vec Cr)-vec A=-tfrac12vec A+tfrac56vec B-tfrac13vec C

Passo 4

Para escrever na base, note que AB=vec B-vec A e AC=vec C-vec A. Assim,
alphaAB+betaAC=-(alpha+beta)vec A+alphavec B+betavec C
Comparando com AO=-tfrac12vec A+tfrac56vec B-tfrac13vec C, obtemos
alpha=tfrac56,beta=-tfrac13,alpha+beta=tfrac12

Resposta

alpha=tfrac56,;beta=-tfrac13

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