Questão 1.(3.0pt) ESCOLHA e RESOLVA 2 ítems.
Pontos são não colineares e é tal que . Calcule alpha e beta tais que A O=alpha A B+beta A C.
Passo 1
O enunciado diz que dados pontos A, B e C não colineares e um ponto O satisfazendo CO=tfrac32,AO+tfrac52,BO, queremos escrever AO na base AB,AC. O conteúdo é decomposição de vetores em uma base não ortogonal, usando operações vetoriais e comparação de coeficientes.
Passo 2
Escrevemos em termos de vetores posição: CO=vec O-vec C, AO=vec O-vec A e BO=vec O-vec B. Logo,
vec O-vec C=tfrac32(vec O-vec A)+tfrac52(vec O-vec B)
Desenvolvendo e agrupando os termos em vec O, vec A e vec B: vec O-vec C=4vec O-tfrac32vec A-tfrac52vec B
Logo,
3vec O=tfrac32vec A+tfrac52vec B-vec CLongrightarrowvec O=tfrac12vec A+tfrac56vec B-tfrac13vec C
Passo 3
Agora calculamos AO:
AO=vec O-vec A=l(tfrac12vec A+tfrac56vec B-tfrac13vec Cr)-vec A=-tfrac12vec A+tfrac56vec B-tfrac13vec C
Passo 4
Para escrever na base, note que AB=vec B-vec A e AC=vec C-vec A. Assim,
alphaAB+betaAC=-(alpha+beta)vec A+alphavec B+betavec C
Comparando com AO=-tfrac12vec A+tfrac56vec B-tfrac13vec C, obtemos alpha=tfrac56,beta=-tfrac13,alpha+beta=tfrac12