Questão 3.
(1.5pt) Descreva (eq reduzida, nome, principais elementos) o lugar geométrico dos pontos (x, y, z) tais que 2 x^2-2 y^2+z^2+4 x+4 y+2 z+1=0.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a superfície definida por
2x^2-2y^2+z^2+4x+4y+2z+1=0
Isso envolve completar quadrados para colocar a equação numa forma reduzida e depois identificar que tipo de figura é (teoria de superfícies quádricas) e extrair seus elementos (vértice, eixo, seções transversais etc.).

Passo 2

Começamos reescrevendo os termos quadráticos agrupados e completando quadrados separadamente em x, y e z:
2igl(x^2+2xr)-2igl(y^2-2yr)+igl(z^2+2zr)+1=0 
Em seguida lembramos que:
x^2+2x=(x+1)^2-1, y^2-2y=(y-1)^2-1, z^2+2z=(z+1)^2-1

Passo 3

Substituindo essas identidades na equação e somando constantes:
2igl((x+1)^2-1r)-2igl((y-1)^2-1r)+igl((z+1)^2-1r)+1=0 
Os termos independentes se cancelam e ficamos com:
2(x+1)^2-2(y-1)^2+(z+1)^2=0

Passo 4

Reorganizando para destacar a forma de cone quádruplo:
2(x+1)^2+(z+1)^2=2(y-1)^2
Essa forma geral sem termo constante mostra que é um cone de segundo grau (cone duplo).

Passo 5

Identificamos os principais elementos a partir da forma reduzida em coordenadas deslocadas
u=x+1, v=y-1, w=z+1
A equação vira
2u^2+w^2-2v^2=0
– Vértice: ponto em que u=v=w=0, ou seja, (x,y,z)=(-1,1,-1).
– Eixo: reta que corresponde ao eixo v (coeficiente de v² é negativo e os outros positivos), isto é, x=-1, z=-1, y livre.
– Seções transversais em planos y=c≠1 são elipses dadas por
2(x+1)^2+(z+1)^2=2(c-1)^2

Resposta

Equação reduzida:
2(x+1)^2-2(y-1)^2+(z+1)^2=0
Nome: cone quádruplo (cone duplo de segundo grau) com superfície quádrupla.
Principais elementos:
– Vértice em (-1, 1, -1).
– Eixo dado pela reta x=-1, z=-1 (y variável).
– Seções planas y=c (c≠1) são elipses de equação 2(x+1)^2+(z+1)^2=2(c-1)^2

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