Questão 3.
(1.5pt) Descreva (eq reduzida, nome, principais elementos) o lugar geométrico dos pontos
tais que
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(1.5pt) Descreva (eq reduzida, nome, principais elementos) o lugar geométrico dos pontos
Passo 1
O enunciado pede para estudar a superfície definida por
Isso envolve completar quadrados para colocar a equação numa forma reduzida e depois identificar que tipo de figura é (teoria de superfícies quádricas) e extrair seus elementos (vértice, eixo, seções transversais etc.).
Passo 2
Começamos reescrevendo os termos quadráticos agrupados e completando quadrados separadamente em x, y e z:
Em seguida lembramos que:
Passo 3
Substituindo essas identidades na equação e somando constantes:
Os termos independentes se cancelam e ficamos com:
Passo 4
Reorganizando para destacar a forma de cone quádruplo:
Essa forma geral sem termo constante mostra que é um cone de segundo grau (cone duplo).
Passo 5
Identificamos os principais elementos a partir da forma reduzida em coordenadas deslocadas
A equação vira
– Vértice: ponto em que u=v=w=0, ou seja, (x,y,z)=(-1,1,-1).
– Eixo: reta que corresponde ao eixo v (coeficiente de v² é negativo e os outros positivos), isto é, x=-1, z=-1, y livre.
– Seções transversais em planos y=c≠1 são elipses dadas por
– Eixo: reta que corresponde ao eixo v (coeficiente de v² é negativo e os outros positivos), isto é, x=-1, z=-1, y livre.
– Seções transversais em planos y=c≠1 são elipses dadas por
Resposta
Equação reduzida:
Nome: cone quádruplo (cone duplo de segundo grau) com superfície quádrupla.
Principais elementos:
– Vértice em (-1, 1, -1).
– Eixo dado pela reta x=-1, z=-1 (y variável).
Principais elementos:
– Vértice em (-1, 1, -1).
– Eixo dado pela reta x=-1, z=-1 (y variável).
– Seções planas y=c (c≠1) são elipses de equação