Questão 1. (3.0pt) ESCOLHA e RESOLVA 2 entre os ITENS abaixo:
Decomponha o vetor v=(3,-3,3) em uma soma de dois vetores x e y tais que x seja paralelo a u=(1,-2,1) e y seja ortogonal a u.

Passo 1

O enunciado pede decompor o vetor vec v=(3,-3,3) em dois vetores vec x+vec y tais que vec x seja paralelo a vec u=(1,-2,1) e vec y ortogonal a vec u. O tema é decomposição vetorial usando projeção ortogonal.

Passo 2

Para obter a parte paralela a vec u, usamos a definição de projeção de vec v sobre vec u:
projvec u(vec v)=vec vcdotvec uvec ucdotvec u,vec u

Passo 3

Calculamos primeiro os produtos internos:
vec vcdotvec u=3cdot1+(-3)cdot(-2)+3cdot1=3+6+3=12,
vec ucdotvec u=1^2+(-2)^2+1^2=1+4+1=6
Então a componente paralela é
vec x=126,vec u=2,(1,-2,1)=(2,-4,2)

Passo 4

Para achar vec y, subtraímos a parte paralela de vec v:
vec y=vec v-vec x=(3,-3,3)-(2,-4,2)=(1,1,1)
Verificamos a ortogonalidade com vec u:
vec ycdotvec u=1cdot1+1cdot(-2)+1cdot1=1-2+1=0,
confirmando que vec y é ortogonal a vec u.

Resposta

vec x=(2,-4,2) e vec y=(1,1,1).

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