Sejam
e
vetores de
. Quais das seguintes funções são formas bilineares:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função bilinear f: R²×R²→R dada por f(u,v)=x₁²+x₂y₁ realmente é bilinear, ou seja, linear em cada argumento separadamente.
Passo 2
Para testar linearidade em u=(x₁,x₂), fixamos v e comparamos f(u+u′,v) com f(u,v)+f(u′,v). Temos u+u′=(x₁+x₁′,x₂+x₂′) e
enquanto
Passo 3
Como aparece o termo extra 2x₁x₁’ em f(u+u′,v), não há aditividade em u, logo não é linear em u.
Mesmo se quiséssemos ver linearidade em v=(y₁,y₂), note que f(u,0)=x₁²≠0 em geral, então também não é linear em v.
Mesmo se quiséssemos ver linearidade em v=(y₁,y₂), note que f(u,0)=x₁²≠0 em geral, então também não é linear em v.
Passo 4
Portanto f não satisfaz a definição de forma bilinear pois falha em ser linear em cada argumento.
Resposta
f(u,v)=x₁²+x₂y₁ não é uma forma bilinear.