Sejam R^2 e f(u, v)=x1^2+x2 y1 vetores de . Quais das seguintes funções são formas bilineares:
(e)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função bilinear f: R²×R²→R dada por f(u,v)=x₁²+x₂y₁ realmente é bilinear, ou seja, linear em cada argumento separadamente.

Passo 2

Para testar linearidade em u=(x₁,x₂), fixamos v e comparamos f(u+u′,v) com f(u,v)+f(u′,v). Temos u+u′=(x₁+x₁′,x₂+x₂′) e
f(u+u',v)=(x₁+x₁')^2+(x₂+x₂')y₁=x₁^2+2x₁x₁'+x₁'^2+x₂y₁+x₂'y₁,
enquanto
f(u,v)+f(u',v)=l(x₁^2+x₂y₁r)+l(x₁'^2+x₂'y₁r)=x₁^2+x₁'^2+x₂y₁+x₂'y₁

Passo 3

Como aparece o termo extra 2x₁x₁’ em f(u+u′,v), não há aditividade em u, logo não é linear em u.
Mesmo se quiséssemos ver linearidade em v=(y₁,y₂), note que f(u,0)=x₁²≠0 em geral, então também não é linear em v.

Passo 4

Portanto f não satisfaz a definição de forma bilinear pois falha em ser linear em cada argumento.

Resposta

f(u,v)=x₁²+x₂y₁ não é uma forma bilinear.

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