Sejam R^2 e vetores de . Quais das seguintes funções são formas bilineares:
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Passo 1

O enunciado dá vetores u=(x₁,x₂) e v=(y₁,y₂) em ℝ² e define f(u,v)=x₁(y₁+y₂). O conteúdo é formas bilineares, e vamos precisar da definição de bilinearidade, ou seja, teste de linearidade em cada argumento.

Passo 2

Uma forma f:ℝ²×ℝ²→ℝ é bilinear se for linear em u quando v é fixo e linear em v quando u é fixo. Linearidade em u significa que para quaisquer u,u’ e escalares α,β temos f(αu+βu’,v)=αf(u,v)+βf(u’,v), e análogo para v.

Passo 3

Vamos testar linearidade em u. Fixamos v=(y₁,y₂). Seja u=(x₁,x₂) e u’=(x₁’,x₂’). Então
f(alpha u+beta u',v)=f((alpha x₁+beta x₁',,alpha x₂+beta x₂'),(y₁,y₂))=(alpha x₁+beta x₁')(y₁+y₂)=alpha x₁(y₁+y₂)+beta x₁'(y₁+y₂)=alpha f(u,v)+beta f(u',v)

Passo 4

Agora testamos linearidade em v. Fixamos u=(x₁,x₂). Seja v=(y₁,y₂) e v’=(y₁’,y₂’). Então
f(u,alpha v+beta v')=f((x₁,x₂),(alpha y₁+beta y₁',,alpha y₂+beta y₂'))=x₁((alpha y₁+beta y₁')+(alpha y₂+beta y₂'))=alpha x₁(y₁+y₂)+beta x₁(y₁'+y₂')=alpha f(u,v)+beta f(u,v')

Passo 5

Como f é linear em cada argumento separadamente, concluímos que f é uma forma bilinear.

Resposta

Sim, f(u,v)=x₁(y₁+y₂) é uma forma bilinear.

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