Sejam
e
vetores de
. Quais das seguintes funções são formas bilineares:
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Passo 1
O enunciado dá vetores u=(x₁,x₂) e v=(y₁,y₂) em ℝ² e define f(u,v)=x₁(y₁+y₂). O conteúdo é formas bilineares, e vamos precisar da definição de bilinearidade, ou seja, teste de linearidade em cada argumento.
Passo 2
Uma forma f:ℝ²×ℝ²→ℝ é bilinear se for linear em u quando v é fixo e linear em v quando u é fixo. Linearidade em u significa que para quaisquer u,u’ e escalares α,β temos f(αu+βu’,v)=αf(u,v)+βf(u’,v), e análogo para v.
Passo 3
Vamos testar linearidade em u. Fixamos v=(y₁,y₂). Seja u=(x₁,x₂) e u’=(x₁’,x₂’). Então
Passo 4
Agora testamos linearidade em v. Fixamos u=(x₁,x₂). Seja v=(y₁,y₂) e v’=(y₁’,y₂’). Então
Passo 5
Como f é linear em cada argumento separadamente, concluímos que f é uma forma bilinear.
Resposta
Sim, f(u,v)=x₁(y₁+y₂) é uma forma bilinear.