Questão 3.(1.0pt) Vetores a=(1,3,-2), b=(3,-1,1) e c=(1, x,-1) são linearmente dependentes. Então sobre x podemos afirmar
(a) x=-75
(b) x não existe
© x=-35
(d) x=-1
(e) nenhuma das afirmações anteriores está correta

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3: vec a=(1,3,-2), vec b=(3,-1,1) e vec c=(1,x,-1) e pede o valor de x tal que eles sejam linearmente dependentes. O conteúdo é “dependência linear” em R^3 e vamos usar que três vetores são dependentes se o determinante da matriz formada por eles é zero.

Passo 2

Para testar dependência linear, montamos a matriz cujas colunas (ou linhas) são vec a,vec b,vec c. Por colunas fica:
M = 1 & 3 & 1 3 & -1 & x -2 & 1 & -1

Passo 3

Precisamos calcular det(M). Usando a regra de Sarrus ou expansão de Laplace pela primeira linha:
det(M)=1cdotdet-1 & x 1 & -1-3cdotdet3 & x -2 & -1+1cdotdet3 & -1 -2 & 1

Passo 4

Agora cada menor:
det-1 & x 1 & -1=(-1)(-1)-xcdot1=1-x,
det3 & x -2 & -1=3cdot(-1)-xcdot(-2)=-3+2x,
det3 & -1 -2 & 1=3cdot1-(-1)cdot(-2)=3-2=1

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão de det(M):
det(M) = 1cdot(1-x) - 3cdot(-3+2x) + 1cdot1 = (1-x) -3(-3+2x) +1
Expandindo e somando termos semelhantes:
(1-x)+9-6x+1 = 11 -7x

Passo 6

Para dependência linear, exigimos det(M)=0, logo
11 -7x = 0 Longrightarrow x = 117

Passo 7

O valor x=tfrac117 não aparece nas alternativas (a) a (d), então a opção correta é a (e): nenhuma das afirmações anteriores está correta.

Resposta

x = 11/7, portanto alternativa (e).

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