Reduzir à forma diagonal pelo processo de Gauss as seguintes formas quadrticas de R^2.
(b) x1^2+x2^2-2 x1 x2

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar, por congruência (processo de Gauss), a forma quadrática de R^2
x1^2 + x2^2 - 2,x1x2
Conteúdo: diagonalização de formas quadráticas via operações de linha e coluna simultâneas (congruência).

Passo 2

Representamos a forma pela matriz simétrica
A = 1 & -1 -1 & 1
Queremos zerar o elemento A21 e A12 usando o pivô A11=1.

Passo 3

Aplicamos a operação de linha 2 to linha 2 + linha 1 e simultaneamente coluna 2 to coluna 2 + coluna 1. Isso equivale a uma transformação de congruência
1 & -1 -1 & 1 xrightarrowL2to L2+L1,;C2to C2+C1 1 & 0 0 & 0
Agora a matriz está em forma diagonal.

Passo 4

A matriz diagonal 1&00&0 corresponde à forma
y1^2 + 0,y2^2
ou simplesmente y1^2. Isso significa que, na nova base, a forma quadrática é um quadrado perfeito.

Passo 5

Concluímos que, sob a mudança de variáveis adequada (por exemplo y1 = x1 - x2, y2=x2), a forma se reduz a um único termo quadrático.

Resposta

A forma diagonalizada é y1^2, isto é, a matriz diagonal associada é diag(1,0).

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