Reduzir à forma diagonal pelo processo de Gauss as seguintes formas quadrticas de
.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para reduzir à forma diagonal a forma quadrática em
dada por
, usando o método de Gauss (completar quadrados). Vamos usar teoria de formas quadráticas e congruência de matrizes.
Passo 2
Primeiro, representamos a forma quadrática como
, onde
oposta simétrica que captura os coeficientes de
Passo 3
Para diagonalizar por congruência, vamos completar o quadrado: note que
Logo, basta escolher uma mudança de variável que elimine o termo misto.
Passo 4
Definimos as novas variáveis
Em termos dessas, temos
e
. Substituindo na forma quadrática obtém-se
Não aparece nenhum termo em
nem misto, ou seja, a forma fica diagonal.
Passo 5
Concluímos que, na base
, a matriz da forma quadrática é diagonal com entradas
e
. Assim, a forma diagonalizada é
Resposta
A forma diagonal é
, ou seja, a matriz diagonal
, com a mudança de variáveis
,
.