Reduzir à forma diagonal pelo processo de Gauss as seguintes formas quadrticas de R^2.
(a) x1^2+x2^2+2 x1 x2

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma diagonal a forma quadrática em R^2 dada por x1^2 + x2^2 + 2x1x2, usando o método de Gauss (completar quadrados). Vamos usar teoria de formas quadráticas e congruência de matrizes.

Passo 2

Primeiro, representamos a forma quadrática como x^T A x, onde
A = 1 & 11 & 1,
oposta simétrica que captura os coeficientes de x1^2, x2^2 e x1x2.

Passo 3

Para diagonalizar por congruência, vamos completar o quadrado: note que
x1^2 + 2x1x2 + x2^2 = (x1 + x2)^2
Logo, basta escolher uma mudança de variável que elimine o termo misto.

Passo 4

Definimos as novas variáveis
y1 = x1 + x2, y2 = x2
Em termos dessas, temos x1 = y1 - y2 e x2 = y2. Substituindo na forma quadrática obtém-se
x1^2 + 2x1x2 + x2^2 = y1^2
Não aparece nenhum termo em y2^2 nem misto, ou seja, a forma fica diagonal.

Passo 5

Concluímos que, na base (y1,y2), a matriz da forma quadrática é diagonal com entradas 1 e 0. Assim, a forma diagonalizada é
y1^2 + 0cdot y2^2

Resposta

A forma diagonal é y1^2 + 0,y2^2, ou seja, a matriz diagonal diag(1,0), com a mudança de variáveis y1=x1+x2, y2=x2.

Exercícios relacionados