Questão 6. (2,0pts) Encontre a solução do seguinte sistema
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}-5 x_{2}+x_{3}=-2 \\\\ 3 x_{1}-7 x_{2}+2 x_{3}=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em três incógnitas:
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1,\\\\ 2x_{1}-5x_{2}+x_{3}=-2,\\\\ 3x_{1}-7x_{2}+2x_{3}=-1, \end{cases}
e pede a solução. O conteúdo aqui é método de eliminação de Gauss para descobrir se há solução única, nenhuma ou infinitas, e, no caso, expressar as variáveis em função de um parâmetro.

Passo 2

Vamos eliminar x_{1} das duas últimas equações usando combinações lineares com a primeira:
– Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:
(2x_{1}-5x_{2}+x_{3}) -2(x_{1}-2x_{2}+x_{3}) = -2 -2\cdot1 \;\Longrightarrow\; -\,x_{2}-x_{3}=-4.
– Subtraindo 3 vezes a primeira linha da terceira:
(3x_{1}-7x_{2}+2x_{3}) -3(x_{1}-2x_{2}+x_{3}) = -1 -3\cdot1 \;\Longrightarrow\; -\,x_{2}-x_{3}=-4.
Note que ambas dão a mesma equação.

Passo 3

Como as duas últimas equações se tornaram idênticas, faltam duas equações independentes para três incógnitas, logo o sistema tem infinitas soluções. A equação comum é
-\,x_{2}-x_{3}=-4 \quad\Longleftrightarrow\quad x_{2}+x_{3}=4.

Passo 4

Escolhemos x_{2} como parâmetro livre. Seja
x_{2}=t.
Da equação x_{2}+x_{3}=4 temos
x_{3}=4-t.
Para achar x_{1}, voltamos à primeira equação
x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1
e substituímos:
x_{1}-2t+(4-t)=1 \;\Longrightarrow\; x_{1}-3t+4=1 \;\Longrightarrow\; x_{1}=3t-3.

Passo 5

Reunindo tudo, a solução geral fica
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr) =(3t-3,\;t,\;4-t),
ou, de forma vetorial,
\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},
onde t\in\mathbb{R}.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(3t-3,\;t,\;4-t), \quad t\in\mathbb R.

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