(2,0) Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear dada pela fórmula T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(4 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}-3 x_{4}, 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}-4 x_{4}, 6 x_{1}-9 x_{3}+9 x_{4}\right)
(a) Encontre uma base do núcleo (N u c(T)).
(b) Encontre uma base da imagem ( \operatorname{Im}(T).
(c) Encontre o posto (\operatorname{pos}(T)) e a nulidade (\operatorname{nul}(T)) de T.
(d) Verifique o teorema da dimensão \operatorname{pos}(T)+n u l(T)=n.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 por
Queremos (a) uma base de \ker(T), (b) uma base de \mathrm{Im}(T), (c) o posto e a nulidade de T, e (d) verificar o teorema da dimensão \operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T)=4.
Passo 2
Para manipular o sistema \!T(x)=0, escrevemos T pela matriz A em relação às bases canônicas:
Multiplicando por 2 para evitar frações, a base de \ker(T) é
\{(3,\,-8,\,2,\,0)\}.
Passo 5
O posto de A é o número de colunas-pivô: são três pivôs em colunas 1, 2 e 4. Logo \operatorname{rank}(T)=3 e uma base da imagem é dada pelas colunas correspondentes de A:
(4,2,6),\;(1,1,0),\;(-3,-4,9).
Passo 6
Há um único parâmetro livre (x_{3}), logo a nulidade de T é \dim\ker(T)=1. Assim
(a) Base de \ker(T): \{(3,-8,2,0)\}.
(b) Base de \mathrm{Im}(T): \{(4,2,6),\,(1,1,0),\,(-3,-4,9)\}.
(c) \operatorname{rank}(T)=3, \operatorname{nullity}(T)=1.
(d) De fato 3+1=4.