(2,0) Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear dada pela fórmula T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(4 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}-3 x_{4}, 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}-4 x_{4}, 6 x_{1}-9 x_{3}+9 x_{4}\right)
(a) Encontre uma base do núcleo (N u c(T)).
(b) Encontre uma base da imagem ( \operatorname{Im}(T).
(c) Encontre o posto (\operatorname{pos}(T)) e a nulidade (\operatorname{nul}(T)) de T.
(d) Verifique o teorema da dimensão \operatorname{pos}(T)+n u l(T)=n.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 por
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\bigl(4x_{1}+x_{2}-2x_{3}-3x_{4},\;2x_{1}+x_{2}+x_{3}-4x_{4},\;6x_{1}-9x_{3}+9x_{4}\bigr).
Queremos (a) uma base de \ker(T), (b) uma base de \mathrm{Im}(T), (c) o posto e a nulidade de T, e (d) verificar o teorema da dimensão \operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T)=4.

Passo 2

Para manipular o sistema \!T(x)=0, escrevemos T pela matriz A em relação às bases canônicas:
A=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 & -3\\\\ 2 & 1 & 1 & -4\\\\ 6 & 0 & -9 & 9 \end{pmatrix},
de modo que \ker(T) é o espaço de soluções de A\,x=0.

Passo 3

Fazemos eliminação de Gauss em A. A sequência de operações leva a uma forma escalonada:
\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 & -3\\\\ 2 & 1 & 1 & -4\\\\ 6 & 0 & -9 & 9 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\text{eliminação}}\; \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 & -3\\\\ 0 & 1 & 4 & -5\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.çã
Dessa forma, as variáveis pivô são x_{1},x_{2},x_{4} e x_{3} é livre, e a última linha impõe x_{4}=0.

Passo 4

Das equações escalonadas obtemos
\begin{cases} x_{4}=0,\\\ x_{2}+4x_{3}-5x_{4}=0\;\Rightarrow\;x_{2}=-4x_{3},\\\\ 4x_{1}+x_{2}-2x_{3}-3x_{4}=0\;\Rightarrow\;4x_{1}-6x_{3}=0\;\Rightarrow\;x_{1}=\tfrac32\,x_{3}. \end{cases}
Tomando x_{3}=t, os vetores do núcleo são
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=t\bigl(\tfrac32,\,-4,\,1,\,0\bigr).
Multiplicando por 2 para evitar frações, a base de \ker(T) é
\{(3,\,-8,\,2,\,0)\}.

Passo 5

O posto de A é o número de colunas-pivô: são três pivôs em colunas 1, 2 e 4. Logo \operatorname{rank}(T)=3 e uma base da imagem é dada pelas colunas correspondentes de A:
(4,2,6),\;(1,1,0),\;(-3,-4,9).

Passo 6

Há um único parâmetro livre ( x_{3}), logo a nulidade de T é \dim\ker(T)=1. Assim
\operatorname{rank}(T)=3, \quad \operatorname{nullity}(T)=1.

Passo 7

Verificamos o teorema da dimensão:
\operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T) =3+1=4,
que é igual à dimensão do domínio \mathbb{R}^4.

Resposta

(a) Base de \ker(T): \{(3,-8,2,0)\}.
(b) Base de \mathrm{Im}(T): \{(4,2,6),\,(1,1,0),\,(-3,-4,9)\}.
(c) \operatorname{rank}(T)=3, \operatorname{nullity}(T)=1.
(d) De fato 3+1=4.

Exercícios relacionados