Questão 3. (2,0pts) Sejam
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\\\ 2 & 4 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 0 \\\\ 1 & 5 & 4 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right]
Calcule \operatorname{tr}\left[(A B)^{T}+C\right].

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[6pt] 2 & 4 \\[6pt] -1 & 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2 & -2 & 0 \\[6pt] 1 & 5 & 4\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}6 & 1 & 3 \\[6pt] -1 & 1 & 2 \\[6pt] 4 & 1 & 3\end{pmatrix}
e pede calcular \operatorname{tr}\bigl[(AB)^T + C\bigr]. O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes e propriedades da traça.]

Passo 2

Usamos duas propriedades da traça:
  1. Linearidade:
\operatorname{tr}\bigl(X + Y\bigr) = \operatorname{tr}(X) + \operatorname{tr}(Y).
  1. Transposição:
\operatorname{tr}\bigl(X^T\bigr) = \operatorname{tr}(X).
Logo
\operatorname{tr}\bigl[(AB)^T + C\bigr] = \operatorname{tr}\bigl[(AB)^T\bigr] + \operatorname{tr}\text{(C)} = \operatorname{tr}(AB) + \operatorname{tr}\text{(C)}.

Passo 3

Para obter \operatorname{tr}(AB), é mais simples usar a propriedade cíclica
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA),
pois BA é 2\times2. Calculamos
BA =\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\\\\ 1 & 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 2 & 4\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot1 + (-2)\cdot2 + 0\cdot(-1) & 2\cdot3 +(-2)\cdot4 +0\cdot0\\[6pt] 1\cdot1 + 5\cdot2 +4\cdot(-1) & 1\cdot3 +5\cdot4 +4\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 & -2\\\\ 7 & 23 \end{pmatrix}.
Assim,
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) = (-2) + 23 = 21.]

Passo 4

Agora calculamos a traça de C. Os elementos da diagonal de C são 6, 1 e 3. Logo
\operatorname{tr}\text{(C)} = 6 + 1 + 3 = 10.

Passo 5

Somando os resultados:
\operatorname{tr}\bigl[(AB)^T + C\bigr] = \operatorname{tr}(AB) + \operatorname{tr}\text{(C)} = 21 + 10 = 31.

Resposta

31

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