(1,5) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear composta por duas transformações sucessivas. Uma rotação de 45^{\circ} no sentido anti-horário e um cisalhamento horizontal com fator k=2.
(a) Escreva as matrizes correspondentes a cada transformação.
(b) Determine a matriz da transformação composta.
(c) Calcule a imagem do vetor \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0\end{array}\right] por essa transformação composta.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos a matriz de uma transformação linear em \mathbb{R}^2 que faz, sucessivamente, uma rotação de 45^\circ no sentido anti-horário e depois um cisalhamento horizontal com fator k=2. Vamos usar a teoria de matrizes de transformações lineares, composição de transformações e aplicação de matriz a vetor.

Passo 2

Para a rotação de 45^\circ no sentido anti-horário a matriz é
R = \begin{pmatrix} \cos45^\circ & -\sin45^\circ \\[3pt] \sin45^\circ & \cos45^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\[3pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para o cisalhamento horizontal com fator k=2 (que envia (x,y)\mapsto(x+2y,y)) a matriz vale
S = \begin{pmatrix} 1 & k \\[3pt] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[3pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Como aplicamos primeiro a rotação e depois o cisalhamento, a matriz composta é
M = S\,R = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[3pt] 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\[3pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\[3pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para encontrar a imagem de \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} basta multiplicar:
M\,\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\[3pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{2} \\[3pt] \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

(a)
R = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\[3pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}, \quad S = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[3pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
(b)
M = \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\[3pt] \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}.
(c)
M\,\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{2} \\[3pt] \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados