(1,5) Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear composta por duas transformações sucessivas. Uma rotação de 45^{\circ} no sentido anti-horário e um cisalhamento horizontal com fator k=2.
(a) Escreva as matrizes correspondentes a cada transformação.
(b) Determine a matriz da transformação composta.
(c) Calcule a imagem do vetor \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0\end{array}\right] por essa transformação composta.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos a matriz de uma transformação linear em \mathbb{R}^2 que faz, sucessivamente, uma rotação de 45^\circ no sentido anti-horário e depois um cisalhamento horizontal com fator k=2. Vamos usar a teoria de matrizes de transformações lineares, composição de transformações e aplicação de matriz a vetor.
Passo 2
Para a rotação de 45^\circ no sentido anti-horário a matriz é