Questão 4. (2,0pts) Resolva o sistema invertendo a matriz de coeficientes
\left\{\begin{array}{l} x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}-3 x_{2}=3 \\\ x_{2}-x_{3}=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1,\\\\ 2x_{1}-3x_{2}=3,\\\ x_{2}-x_{3}=4 \end{cases}
usando a inversão da matriz de coeficientes. O conteúdo é escrever o sistema na forma matricial A x = b e calcular A^{-1} via determinante e adjunta.

Passo 2

Escrevendo o sistema na forma A x = b, temos
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 2 & -3 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} x_{1}\\\ x_{2}\\\ x_{3} \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1\\\\ 3\\\\ 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-3&0\\\ 1&-1\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&-3\\\ 0&1\end{pmatrix} =1\cdot3 -(-2)\cdot(-2)+1\cdot2 =3-4+2=1.

Passo 4

Agora montamos a matriz de cofatores C, onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e M_{ij} é o menor de A:
C = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2\\\\ -1 & -1 & -1\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 3\\\\ 2 & -1 & 2\\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Como \det(A)=1, temos
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A).
Portanto
x = A^{-1}b = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 3\\\\ 2 & -1 & 2\\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\\\ 3\\\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot1 +(-1)\cdot3 +3\cdot4\\\\ 2\cdot1 +(-1)\cdot3 +2\cdot4\\\\ 2\cdot1 +(-1)\cdot3 +1\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\\\ 7\\\\ 3 \end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle x_{1}=12,\;x_{2}=7,\;x_{3}=3.

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