Questão 2. (1,4pts) Determine os valores de a com os quais o sistema abaixo tem exatamente uma solução.
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}=1 \\\\ 2 x_{1}+\left(a^{2}-5\right) x_{2}=a-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear 2×2
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}=1,\\\\ 2x_{1}+(a^{2}-5)x_{2}=a-1, \end{cases}
e pede os valores de a para os quais o sistema tem exatamente uma solução. Para isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz de coeficientes: se o determinante for diferente de zero, o sistema tem solução única.

Passo 2

Escrevendo a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & a^{2}-5 \end{pmatrix},
calculamos o determinante de A:
\det(A) = 1\cdot (a^{2}-5) - 2\cdot 2 = a^{2}-5 -4 = a^{2}-9.

Passo 3

Para que o sistema tenha exatamente uma solução, é preciso que
\det(A)\neq 0.
Logo,
a^{2}-9\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}\neq 9 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq 3\quad\text{e}\quad a\neq -3.

Resposta

Os valores de a que garantem solução única são
a\in \mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}.

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