Questão 8.[1,00 pontos]
Calcule a integral
\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x \cdot \tan x \cdot\left[\operatorname{sen}(2 x) \cdot((\cos \operatorname{sec} (x)))^{2}+\operatorname{sen}(2 x) \cdot(\cos \operatorname{sec} (x))+\operatorname{sen}(2 x)\right]} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\cos x}{\sin x\;\tan x\;\bigl[\sin(2x)\,\bigl((\cos x\operatorname{sec} x)^{2}+(\cos x\operatorname{sec} x)+1\bigr)\bigr]} \,dx.
O conteúdo aqui é uso de identidades trigonométricas para simplificar o integrando e depois uma substituição simples.

Passo 2

Usamos a identidade \cos x\operatorname{sec} x=1. Então
(\cos x\operatorname{sec} x)^{2}+(\cos x\operatorname{sec} x)+1 =1^{2}+1+1=3.
Logo o colchete fica
\sin(2x)\times 3 =3\,\sin(2x).

Passo 3

O integrando vira
\frac{\cos x}{\sin x\;\tan x\;[3\,\sin(2x)]} =\frac{\cos x}{3\,\sin x\;\tan x\;\sin(2x)}.
Agora use \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} e \sin(2x)=2\sin x\cos x.
Primeiro, \sin x\;\tan x=\sin x\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin^2 x}{\cos x}.
Então
\frac{\cos x}{3\,\frac{\sin^2 x}{\cos x}\;(2\sin x\cos x)} =\frac{\cos^2 x}{3\cdot 2\,\sin^3 x\cos x} =\frac{\cos x}{6\,\sin^3 x}.

Passo 4

Agora integral é
\int \frac{\cos x}{6\,\sin^3 x}\,dx =\frac{1}{6}\int \sin^{-3}x\;\cos x\,dx.
Fazemos a substituição u=\sin x, logo du=\cos x\,dx. A integral fica
\frac{1}{6}\int u^{-3}\,du.

Passo 5

Integramos
\int u^{-3}\,du =\frac{u^{-2}}{-2}+C =-\frac{1}{2u^2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{6} obtemos
\frac{1}{6}\Bigl(-\frac{1}{2u^2}\Bigr)+C =-\frac{1}{12u^2}+C =-\frac{1}{12\sin^2 x}+C.

Resposta

-\frac{1}{12\,\sin^2 x}+C.

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