Questão 7.[1,00 pontos]
Calcule a integral
\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{e^{2 x}+3 e^{x}+2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+3e^{x}+2}}\;dx.
O conteúdo aqui é mudança de variável em integrais e manipulação de expressões quadráticas sob raiz. Vamos usar a substituição u=e^x.

Passo 2

Fazendo u = e^{x} temos du = e^{x}\,dx, ou seja dx = \frac{du}{u}. Além disso
e^{2x} = (e^x)^2 = u^2, \quad \sqrt{e^{2x}+3e^x+2} = \sqrt{u^2+3u+2}.
Substituindo na integral original:
\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+3e^{x}+2}}\;dx = \int \frac{u^2}{\sqrt{u^2+3u+2}}\;\frac{du}{u} = \int \frac{u}{\sqrt{u^2+3u+2}}\;du.

Passo 3

Para integrar
\int \frac{u}{\sqrt{u^2+3u+2}}\;du,
completamos o quadrado em u^2+3u+2:
u^2+3u+2 = \Bigl(u+\tfrac{3}{2}\Bigr)^2 - \tfrac{1}{4}.
Então fazemos a mudança t = u + \tfrac{3}{2}, de modo que u = t - \tfrac{3}{2} e du=dt. A integral vira
\int \frac{t - \tfrac{3}{2}}{\sqrt{\,t^2 - \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^2\,}}\;dt = \int \frac{t}{\sqrt{t^2 - \tfrac14}}\;dt \;-\;\tfrac{3}{2}\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - \tfrac14}}\;dt.

Passo 4

Usamos as fórmulas conhecidas:
\int \frac{t}{\sqrt{t^2-a^2}}\;dt = \sqrt{t^2-a^2}, \quad \int \frac{1}{\sqrt{t^2-a^2}}\;dt = \ln\bigl|t + \sqrt{t^2 - a^2}\bigr|.
Aqui a = \tfrac12. Logo
\int \frac{t}{\sqrt{t^2 - \tfrac14}}\;dt = \sqrt{t^2 - \tfrac14}, \quad \int \frac{1}{\sqrt{t^2 - \tfrac14}}\;dt = \ln\bigl|t + \sqrt{t^2 - \tfrac14}\bigr|.
Assim a integral em t é
\sqrt{t^2 - \tfrac14} \;-\;\tfrac{3}{2}\,\ln\bigl|t + \sqrt{t^2 - \tfrac14}\bigr| + C.

Passo 5

Voltando de t para u e depois para x:
t = u + \tfrac{3}{2}, \quad \sqrt{t^2 - \tfrac14} = \sqrt{u^2+3u+2}, \quad u = e^x.
Portanto a primitiva original é
\sqrt{e^{2x}+3e^{x}+2} \;-\;\tfrac{3}{2}\, \ln\Bigl|\,e^x + \tfrac{3}{2} + \sqrt{e^{2x}+3e^{x}+2}\Bigr| + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+3e^{x}+2}}\;dx = \sqrt{e^{2x}+3e^{x}+2} \;-\;\frac{3}{2}\ln\!\Bigl|\,e^x+\tfrac{3}{2}+\sqrt{e^{2x}+3e^{x}+2}\Bigr| + C. }

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