Questão 9.[1,00 pontos]
Calcule a integral
\int \operatorname{sen}(2 x) \operatorname{sen}(6 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sin(2x)\,\sin(6x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de produto de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a identidade de produto-para-soma:
\sin A\,\sin B = \tfrac12\bigl(\cos(A - B) - \cos(A + B)\bigr).

Passo 2

Aplicando a identidade com A=2x e B=6x, obtemos
\sin(2x)\,\sin(6x) = \tfrac12\bigl(\cos(2x-6x)-\cos(2x+6x)\bigr) = \tfrac12\bigl(\cos(-4x)-\cos(8x)\bigr).
Como \cos(-4x)=\cos(4x), fica
\sin(2x)\,\sin(6x) = \tfrac12\bigl(\cos(4x)-\cos(8x)\bigr).

Passo 3

Substituindo na integral:
\int \sin(2x)\,\sin(6x)\,dx = \tfrac12\int\cos(4x)\,dx \;-\;\tfrac12\int\cos(8x)\,dx.
Calculamos cada parte:
\int\cos(4x)\,dx = \tfrac1{4}\sin(4x), \qquad \int\cos(8x)\,dx = \tfrac1{8}\sin(8x).
Logo,
\int \sin(2x)\,\sin(6x)\,dx = \tfrac12\Bigl(\tfrac1{4}\sin(4x)\Bigr) - \tfrac12\Bigl(\tfrac1{8}\sin(8x)\Bigr) = \tfrac1{8}\sin(4x) - \tfrac1{16}\sin(8x) + C.

Resposta

\int \sin(2x)\,\sin(6x)\,dx = \tfrac1{8}\sin(4x) \;-\; \tfrac1{16}\sin(8x) + C.

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