Questão 6.[1,00 pontos]
Calcule a integral
\int \frac{x^{2}+x}{\sqrt{x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-8 x-4}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}+x}{\sqrt{x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-8x-4}}\;dx.
O conteúdo principal aqui é manipular a raiz de um polinômio de quarto grau, fatorar esse polinômio para simplificar a expressão e então usar uma substituição simples.

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio dentro da raiz. Seja
f(x)=x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-8x-4.
Testando raízes racionais achamos x=2 e x=-1 (dupla) e x=-2. Logo
f(x)=(x-2)(x+1)^{2}(x+2).
Assim
\sqrt{f(x)}=\sqrt{(x+1)^{2}(x^{2}-4)}=\bigl|x+1\bigr|\sqrt{x^{2}-4}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\frac{x^{2}+x}{\sqrt{f(x)}} =\frac{x(x+1)}{\bigl|x+1\bigr|\sqrt{x^{2}-4}} =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}} \quad\text{(supondo \(x>-1\) para \(x+1>0\)).}
Portanto a integral original reduz-se a
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}\;dx.

Passo 4

Use a substituição
u = x^{2}-4,\quad du = 2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{2}.
A integral torna-se
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx =\int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int u^{-\tfrac12}\,du =\sqrt{u}+C =\sqrt{x^{2}-4}+C.

Resposta

\int \frac{x^{2}+x}{\sqrt{x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-8x-4}}\;dx =\sqrt{x^{2}-4}+C.

Exercícios relacionados