Questão 5

[1,25 pontos]
Dispomos de 7 bolas pretas, indistinguíveis entre si, 5 bolas brancas, indistinguíveis entre si e de 4 bolas azuis, também indistinguíveis entre si.
(a) De quantas formas distintas podemos colocar em fila essas 16 bolas? ( 0,75 ponto)
(b) De quantas formas podemos colocar em fila 16 números inteiros distintos, sendo 7 deles múltiplos de 3,5 números que deixam resto 1 na divisão por 3 e outros 4 números que deixam resto 2 na divisão por 3 , de modo que os números de cada tipo estejam em ordem crescente? (0,50 ponto)
Em um certo jogo de auditório, o apresentador faz uma série de perguntas em sequência ao jogador, sendo que cada pergunta admite apenas uma das respostas: Sim ou Não. Se o jogador não souber a resposta de uma determinada pergunta, ele pode optar por não respondê-la e continuar no jogo. No entanto, não é permitido que o jogador deixe de responder duas perguntas consecutivas.
(a) Se a série é de 3 perguntas, quantas são as possíveis opções que o jogador tem? Por exemplo, resposta Sim na primeira, não responder a segunda e resposta Não na terceira: ( \mathrm{S}, \tilde{\mathrm{n}} \mathrm{R}, \mathrm{N} ). ( 0,50 ponto)
(b) Determine uma sequência recorrente que represente o número de opções de jogo possíveis para uma série de n perguntas. (0,50 ponto)
(c) Encontre uma solução para a recorrência encontrada em (b). (0,25 ponto)

Passo 1

O enunciado reúne dois problemas de combinatória. No primeiro, temos permutações de objetos indistinguíveis (7 bolas pretas, 5 brancas e 4 azuis) e depois arranjos de 16 números inteiros divididos em três tipos com ordem interna fixa. No segundo, contamos sequências de respostas a n perguntas (Sim, Não ou abstenção) sem abstenções consecutivas, o que leva a uma recorrência. Usaremos: permutações com repetição, argumento de escolha de posições e recorrência de ordem 2.

Passo 2

Para as 16 bolas em fila, com 7 pretas, 5 brancas e 4 azuis indistinguíveis, o número de permutações é dado pela fórmula de multinomial:
\frac{16!}{7!\,5!\,4!}.

Passo 3

Para os 16 números distintos divididos em 7 múltiplos de 3, 5 com resto 1 e 4 com resto 2, mas cada subgrupo em ordem crescente, basta escolher as posições de cada tipo na linha de 16 lugares. O número de escolhas é novamente
\frac{16!}{7!\,5!\,4!}.

Passo 4

Para a série de 3 perguntas, cada posição pode ser S, N ou abstenção \mathrm{U}, desde que não haja \mathrm{U}\mathrm{U}. Contamos por casos:
  • Zero abstenções: 2^3=8.
  • Uma abstenção: \binom{3}{1}\cdot2^2=3\cdot4=12.
  • Duas abstenções não consecutivas (só nos lugares 1 e 3): 2.
    Total: 8+12+2=22.

Passo 5

Defina a_n = número de sequências válidas de comprimento n.
Se a última resposta for S ou N (2 opções), restam a_{n-1} possibilidades para o prefixo.
Se for U, a penúltima deve ser S ou N (2 opções) e o prefixo tem a_{n-2} possibilidades.
Logo, para n\ge2,
a_n = 2\,a_{n-1} + 2\,a_{n-2},
com condições iniciais a_0=1 (sequência vazia) e a_1=3 (S, N ou U).

Passo 6

A equação característica é
r^2 - 2r - 2 = 0,
com raízes r=1\pm\sqrt{3}. Assim
a_n = A (1+\sqrt{3})^n + B (1-\sqrt{3})^n.
Usando a_0=1 e a_1=3 obtemos
A+B=1,\quad A(1+\sqrt3)+B(1-\sqrt3)=3,
de onde
A=\tfrac12+\tfrac1{\sqrt3},\quad B=\tfrac12-\tfrac1{\sqrt3}.
Portanto
a_n = \Bigl(\tfrac12+\tfrac1{\sqrt3}\Bigr)(1+\sqrt3)^n +\Bigl(\tfrac12-\tfrac1{\sqrt3}\Bigr)(1-\sqrt3)^n.

Resposta

1.(a) \displaystyle \frac{16!}{7!\,5!\,4!}.
1.(b) \displaystyle \frac{16!}{7!\,5!\,4!}.
2.(a) 22.
2.(b) \displaystyle a_n = 2\,a_{n-1} + 2\,a_{n-2},\quad a_0=1,\;a_1=3.
2.(c) \displaystyle a_n = \Bigl(\tfrac12+\tfrac1{\sqrt3}\Bigr)(1+\sqrt3)^n +\Bigl(\tfrac12-\tfrac1{\sqrt3}\Bigr)(1-\sqrt3)^n.

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