Questão 5
[1,25 pontos]
Dispomos de 7 bolas pretas, indistinguíveis entre si, 5 bolas brancas, indistinguíveis entre si e de 4 bolas azuis, também indistinguíveis entre si.
(a) De quantas formas distintas podemos colocar em fila essas 16 bolas? ( 0,75 ponto)
(b) De quantas formas podemos colocar em fila 16 números inteiros distintos, sendo 7 deles múltiplos de 3,5 números que deixam resto 1 na divisão por 3 e outros 4 números que deixam resto 2 na divisão por 3 , de modo que os números de cada tipo estejam em ordem crescente? (0,50 ponto)
Em um certo jogo de auditório, o apresentador faz uma série de perguntas em sequência ao jogador, sendo que cada pergunta admite apenas uma das respostas: Sim ou Não. Se o jogador não souber a resposta de uma determinada pergunta, ele pode optar por não respondê-la e continuar no jogo. No entanto, não é permitido que o jogador deixe de responder duas perguntas consecutivas.
(a) Se a série é de 3 perguntas, quantas são as possíveis opções que o jogador tem? Por exemplo, resposta Sim na primeira, não responder a segunda e resposta Não na terceira: (
). ( 0,50 ponto)
(b) Determine uma sequência recorrente que represente o número de opções de jogo possíveis para uma série de
perguntas. (0,50 ponto)
(c) Encontre uma solução para a recorrência encontrada em (b). (0,25 ponto)
Dispomos de 7 bolas pretas, indistinguíveis entre si, 5 bolas brancas, indistinguíveis entre si e de 4 bolas azuis, também indistinguíveis entre si.
(a) De quantas formas distintas podemos colocar em fila essas 16 bolas? ( 0,75 ponto)
(b) De quantas formas podemos colocar em fila 16 números inteiros distintos, sendo 7 deles múltiplos de 3,5 números que deixam resto 1 na divisão por 3 e outros 4 números que deixam resto 2 na divisão por 3 , de modo que os números de cada tipo estejam em ordem crescente? (0,50 ponto)
(a) Se a série é de 3 perguntas, quantas são as possíveis opções que o jogador tem? Por exemplo, resposta Sim na primeira, não responder a segunda e resposta Não na terceira: (
(b) Determine uma sequência recorrente que represente o número de opções de jogo possíveis para uma série de
(c) Encontre uma solução para a recorrência encontrada em (b). (0,25 ponto)
Passo 1
O enunciado reúne dois problemas de combinatória. No primeiro, temos permutações de objetos indistinguíveis (7 bolas pretas, 5 brancas e 4 azuis) e depois arranjos de 16 números inteiros divididos em três tipos com ordem interna fixa. No segundo, contamos sequências de respostas a
perguntas (Sim, Não ou abstenção) sem abstenções consecutivas, o que leva a uma recorrência. Usaremos: permutações com repetição, argumento de escolha de posições e recorrência de ordem 2.
Passo 2
Para as 16 bolas em fila, com 7 pretas, 5 brancas e 4 azuis indistinguíveis, o número de permutações é dado pela fórmula de multinomial:
Passo 3
Para os 16 números distintos divididos em 7 múltiplos de 3, 5 com resto 1 e 4 com resto 2, mas cada subgrupo em ordem crescente, basta escolher as posições de cada tipo na linha de 16 lugares. O número de escolhas é novamente
Passo 4
Para a série de 3 perguntas, cada posição pode ser S, N ou abstenção
, desde que não haja
. Contamos por casos:
- Zero abstenções:
. - Uma abstenção:
. - Duas abstenções não consecutivas (só nos lugares 1 e 3):
.
Total:.
Passo 5
Defina
= número de sequências válidas de comprimento
.
Se a última resposta for S ou N (2 opções), restam possibilidades para o prefixo.
Se for U, a penúltima deve ser S ou N (2 opções) e o prefixo tem possibilidades.
Logo, para ,
Se a última resposta for S ou N (2 opções), restam
Se for U, a penúltima deve ser S ou N (2 opções) e o prefixo tem
Logo, para
com condições iniciais
(sequência vazia) e
(S, N ou U).
Passo 6
A equação característica é
com raízes
. Assim
Usando
e
obtemos
de onde
Portanto
Resposta
1.(a)
1.(b)
2.(a)
2.(b)
2.(c)
1.(b)
2.(a)
2.(b)
2.(c)