Questāo 3 [1 ponto] Determine uma curva
, de modo que
seja ortogonal a
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede uma curva
tal que seu vetor tangente
seja ortogonal ao campo de vetores
Para isso vamos usar a condição de ortogonalidade via produto escalar e depois resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
A ortogonalidade exige
Como
e
, temos
Passo 3
Repare que
A condição
implica
logo
é constante.
Passo 4
Integrando, obtemos a família de curvas
onde
é constante real. Uma parametrização usual (para
) é por funções hiperbólicas:
que satisfaz
.
Resposta
A curva geral é dada implicitamente por
por exemplo, uma parametrização é