Questāo 3 [1 ponto] Determine uma curva \gamma(t)=(x(t), y(t)), de modo que \gamma^{\prime}(t) seja ortogonal a \vec{F}(\gamma(l)), onde \vec{F}(x, y)=x \vec{i}-y \vec{j}.

Passo 1

O enunciado pede uma curva \gamma(t)=(x(t),y(t)) tal que seu vetor tangente \gamma'(t) seja ortogonal ao campo de vetores
\vec{F}(x,y)=x\,\vec{i}-y\,\vec{j}.
Para isso vamos usar a condição de ortogonalidade via produto escalar e depois resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

A ortogonalidade exige
\gamma'(t)\cdot \vec{F}(\gamma(t))=0.
Como \gamma'(t)=(x'(t),y'(t)) e \vec{F}(\gamma(t))=(x(t),-y(t)), temos
x'(t)\,x(t)+y'(t)\,(-y(t))=0 \quad\Longrightarrow\quad x(t)\,x'(t)-y(t)\,y'(t)=0.

Passo 3

Repare que
\frac{d}{dt}\bigl(x(t)^2 - y(t)^2\bigr) =2\,x(t)\,x'(t)-2\,y(t)\,y'(t).
A condição x\,x'-y\,y'=0 implica
\frac{d}{dt}\bigl(x^2 - y^2\bigr)=0,
logo x(t)^2 - y(t)^2 é constante.

Passo 4

Integrando, obtemos a família de curvas
x(t)^2 - y(t)^2 = C,
onde C é constante real. Uma parametrização usual (para C>0) é por funções hiperbólicas:
\gamma(t)=\bigl(\sqrt{C}\,\operatorname{cosh} t,\;\sqrt{C}\,\operatorname{sinh} t\bigr),
que satisfaz \gamma'(t)\perp\vec{F}(\gamma(t)).

Resposta

A curva geral é dada implicitamente por
x^2 - y^2 = C,
por exemplo, uma parametrização é
\gamma(t)=\bigl(\sqrt{C}\operatorname{cosh} t,\;\sqrt{C}\operatorname{sinh} t\bigr).

Exercícios relacionados