Questão 1 [4 pontos] Resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}=\frac{2 y}{x}+3 x^{4}, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{2y}{x}+3x^{4},
com condição inicial y(1)=2. Isso é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reescrever no formato padrão
y'+P(x)\,y=Q(x)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo em formato padrão temos
y'-\frac{2}{x}\,y=3x^{4},
ou seja, P(x)=-\tfrac{2}{x} e Q(x)=3x^{4}.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int -\frac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-2\ln x) =x^{-2}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(x)=x^{-2} obtemos
(x^{-2}y)'=3x^{4}\cdot x^{-2}=3x^{2}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
x^{-2}y=\int 3x^{2}\,dx=x^{3}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y vem
y=x^{2}(x^{3}+C)=x^{5}+Cx^{2}.
Usando y(1)=2
2=1+C\quad\Longrightarrow\quad C=1.
Logo a solução pedido é
y(x)=x^{5}+x^{2}.

Resposta

y(x)=x^{5}+x^{2}

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