Questāo 7 [1 ponto extra] Resolva a equação de Bernoulli
y^{\prime}=x y-e^{x-x^{2}} y^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de Bernoulli
y' = x\,y - e^{\,x - x^2}\,y^3
Aqui temos a forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n
com P(x)=-x, Q(x)=-e^{\,x-x^2} e n=3. Para resolver usamos a substituição
z = y^{\,1-n} = y^{-2}.

Passo 2

Calculamos z' em função de y':
z' = -2\,y^{-3}y'.
A teoria de Bernoulli diz que a equação em z fica linear:
z' + (1-n)\,P(x)\,z = (1-n)\,Q(x).
Como 1-n=-2 e P(x)=-x, Q(x)=-e^{\,x-x^2}, substituímos para obter
z' + 2x\,z = 2\,e^{\,x-x^2}.

Passo 3

Identificamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int 2x\,dx\Bigr) = e^{\,x^2}.
Multiplicando a equação em z por \mu(x) obtemos
\bigl(e^{\,x^2}z\bigr)' = 2\,e^{\,x^2}\,e^{\,x-x^2} = 2\,e^{\,x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
e^{\,x^2}z = \int 2\,e^{\,x}\,dx + C = 2\,e^{\,x} + C,
portanto
z = 2\,e^{\,x-x^2} + C\,e^{-x^2}.

Passo 5

Voltando a y, temos z = y^{-2}, logo
y^{-2} = 2\,e^{\,x-x^2} + C\,e^{-x^2} \quad\Longrightarrow\quad y^2 = \frac{1}{2\,e^{\,x-x^2} + C\,e^{-x^2}} = \frac{e^{\,x^2}}{2\,e^{\,x} + C}.
Assim
y = \pm \frac{e^{\,x}}{\sqrt{2\,e^{\,x} + C}}.

Resposta

y(x) = \pm \frac{e^{\,x}}{\sqrt{2\,e^{\,x} + C}},
onde C é constante arbitrária.

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