Questāo 6 [1 ponto] Faça a mudança de variável v=\frac{d y}{d r} para reduzir a ordem da seguinte EDO
y^{\prime \prime}=2 y\left(y^{\prime}\right)^{2} .
E determine a relação entre v e y.

Passo 1

O enunciado pede para usar a mudança de variável
v = \frac{dy}{dr}
a fim de reduzir a ordem da EDO
y'' = 2\,y\,(y')^2.
O objetivo é reescrever a EDO em termos de v e y e depois encontrar a relação v(y).

Passo 2

Substituímos y' = v e note que
y'' = \frac{d}{dr}\bigl(y'\bigr) = \frac{dv}{dr}.
Mas como v é função de y, pela regra da cadeia
\frac{dv}{dr} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dr} = v\,\frac{dv}{dy}.
Logo a EDO original vira
v\,\frac{dv}{dy} = 2\,y\,v^2.

Passo 3

Se v\neq0, podemos dividir ambos os lados por v, obtendo
\frac{dv}{dy} = 2\,y\,v.
Isto é uma EDO de primeira ordem separável para v(y).

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
\frac{1}{v}\,dv = 2\,y\,dy \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{1}{v}\,dv = \int 2\,y\,dy
\ln|v| = y^2 + C_1 \quad\Longrightarrow\quad v = C\,e^{y^2},
onde C = \pm e^{C_1} é constante arbitrária.

Resposta

v = \frac{dy}{dr} = C\,e^{y^2}.

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