Questão 2 [2 pontos] Verifique que a EDO é exata e encontre uma solução que satisfaça y(0)=1.
(2 x+y) d x+\left(3 y^{2}+x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
(2x + y)\,dx + (3y^{2} + x)\,dy = 0
e pede que verifiquemos que ela é exata e em seguida encontremos a solução que satisfaz y(0)=1. Para isso, vamos (1) checar exatidão calculando \partial M/\partial y e \partial N/\partial x, (2) procurar uma função potencial \psi(x,y) tal que d\psi=M\,dx+N\,dy e (3) aplicar a condição inicial.

Passo 2

Definindo
M(x,y)=2x+y,\quad N(x,y)=3y^{2}+x,
temos
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=1.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Procuramos \psi(x,y) satisfazendo
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)=2x+y.
Integrando em x:
\psi(x,y)=\int(2x+y)\,dx = x^{2}+x\,y+h(y).
Agora impomos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x + h'(y) \stackrel!=N(x,y)=3y^{2}+x \;\Longrightarrow\; h'(y)=3y^{2} \;\Longrightarrow\; h(y)=y^{3}.
Logo
\psi(x,y)=x^{2}+x\,y+y^{3},
e a solução implícita geral é
x^{2}+x\,y+y^{3}=C.

Passo 4

Usando y(0)=1, obtemos
C = 0^{2}+0\cdot1+1^{3}=1.

Resposta

A solução que satisfaz y(0)=1 é
x^{2}+x\,y+y^{3}=1.

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