0,5 Questão 2 [1,0 ponto] Resolva a integral \int_{-1}^{4} \int_{0}^{4} x^{2} y+2 x d y d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla iterada
\displaystyle \int_{-1}^{4}\int_{0}^{4}\bigl(x^{2}y+2x\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo envolve integração iterada: primeiro integramos em y, tratando x como constante, e em seguida integramos o resultado em x.

Passo 2

Para calcular a integral interna em y note que
\int_{0}^{4}x^{2}y\,dy = \left.\frac{x^{2}y^{2}}{2}\right|_{0}^{4} = 8x^{2}
\int_{0}^{4}2x\,dy = \left.2x\,y\right|_{0}^{4} = 8x
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\int_{0}^{4}\bigl(x^{2}y+2x\bigr)\,dy = 8x^{2} + 8x

Passo 3

Agora integramos o resultado em x:
\int_{-1}^{4}\bigl(8x^{2}+8x\bigr)\,dx = 8\int_{-1}^{4}x^{2}\,dx + 8\int_{-1}^{4}x\,dx
= 8\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{4} + 8\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{4}
= \frac{8}{3}\bigl(4^{3}-(-1)^{3}\bigr) + 4\bigl(4^{2}-(-1)^{2}\bigr)
= \frac{8}{3}(64+1) + 4(16-1)
= \frac{520}{3} + 60 = \frac{700}{3}

Resposta

\displaystyle \frac{700}{3}

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