Questão 8
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Qual o cosseno do ângulo formado pelas retas
r_{1}=\left\{\begin{array}{l}x=-1+t \\\ y=2-2 t \\\ z=3-t\end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad r_{2}=\left\{\begin{array}{l}x=-1+2 t \\\ y=2+t \\\ z=3+t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.\right.
Escolha uma opção:
a. \frac{3}{5}
b. \frac{2}{3}
c. \frac{1}{4}
d. \frac{1}{6}

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica no \mathbb{R}^3 e pede o cosseno do ângulo entre elas. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do produto escalar: para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta = \frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|}.

Passo 2

Extraímos das equações paramétricas as direções das retas:
\mathbf{v}_1 = (1,\,-2,\,-1), \qquad \mathbf{v}_2 = (2,\,1,\,1).
Calculamos o produto escalar:
\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2 = 1\cdot2 + (-2)\cdot1 + (-1)\cdot1 = 2 - 2 - 1 = -1.
Em seguida as normas:
\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}, \qquad \|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}.
Por fim, aplicamos a fórmula do cosseno (tomando o valor absoluto do escalar para garantir o ângulo agudo):
\cos\theta = \frac{\bigl|\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2\bigr|}{\|\mathbf{v}_1\|\;\|\mathbf{v}_2\|} = \frac{|-1|}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} = \frac{1}{6}.

Resposta

\tfrac{1}{6} (alternativa d)

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