QUESTÃO 10. Calcular a derivada implícita de x, sabendo que 4 x^{3}+3 y^{3} x^{4}=6 y^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
4x^{3} + 3y^{3}x^{4} = 6y^{2}
e pede para calcular a derivada de x em função de y, ou seja \frac{dx}{dy}. Para isso vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia em todo termo que depende de x e a regra do produto em 3y^{3}x^{4}.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a y:
\frac{d}{dy}\bigl(4x^{3}\bigr) +\frac{d}{dy}\bigl(3y^{3}x^{4}\bigr) =\frac{d}{dy}\bigl(6y^{2}\bigr).
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dy}(4x^{3})=12x^{2}\,\frac{dx}{dy}, \quad \frac{d}{dy}(3y^{3}x^{4}) =3\bigl(3y^{2}x^{4}+y^{3}\cdot4x^{3}\tfrac{dx}{dy}\bigr) =9y^{2}x^{4}+12y^{3}x^{3}\,\frac{dx}{dy},
\frac{d}{dy}(6y^{2})=12y.
Substituindo no balanço:
12x^{2}\,\frac{dx}{dy} +9y^{2}x^{4} +12y^{3}x^{3}\,\frac{dx}{dy} =12y.

Passo 3

Agrupamos os termos que contêm \tfrac{dx}{dy} de um lado e os demais do outro:
\bigl(12x^{2}+12y^{3}x^{3}\bigr)\frac{dx}{dy} =12y - 9y^{2}x^{4}.

Passo 4

Isolando \tfrac{dx}{dy}:
\frac{dx}{dy} =\frac{12y - 9y^{2}x^{4}}{12x^{2}+12y^{3}x^{3}}.

Passo 5

Podemos ainda fatorar para simplificar:
12y - 9y^{2}x^{4}=3y(4 - 3yx^{4}), \quad 12x^{2}+12y^{3}x^{3}=12x^{2}(1+y^{3}x),
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\frac{dx}{dy} =\frac{3y(4-3yx^{4})}{12x^{2}(1+y^{3}x)} =\frac{y\,(4-3yx^{4})}{4x^{2}(1+y^{3}x)}.

Resposta

\frac{dx}{dy} =\frac{12y - 9y^{2}x^{4}}{12x^{2}+12y^{3}x^{3}} =\frac{y\,(4-3yx^{4})}{4x^{2}(1+y^{3}x)}.

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