QUESTÃO 7. Seja a função \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{x}^{2}-7 \mathrm{x}+10. Calcule:
a) os pontos extremos locais (mínimo e máximo).
b) o ponto de inflexão.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=x^{3}-4x^{2}-7x+10
e pede (a) os extremos locais e (b) o ponto de inflexão. Vamos usar cálculo de derivadas: a derivada primeira para achar pontos críticos e a derivada segunda para classificar extremos e encontrar o ponto de inflexão.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira e achamos onde ela zera:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-4x^{2}-7x+10\bigr)=3x^{2}-8x-7.
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
3x^{2}-8x-7=0.
As raízes dessa equação são
x=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot3\cdot(-7)}}{2\cdot3} =\frac{8\pm\sqrt{64+84}}{6} =\frac{8\pm\sqrt{148}}{6} =\frac{4\pm\sqrt{37}}{3}.

Passo 3

Agora usamos a derivada segunda para classificar esses pontos e calcular as ordenadas:
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-8x-7\bigr)=6x-8.
Em x_{1}=\frac{4-\sqrt{37}}{3} temos
g''\bigl(x_{1}\bigr)=6\cdot\frac{4-\sqrt{37}}{3}-8 =2\bigl(4-\sqrt{37}\bigr)-8 =-2\sqrt{37}<0,
logo é máximo local. Em x_{2}=\frac{4+\sqrt{37}}{3} vem
g''\bigl(x_{2}\bigr)=2\bigl(4+\sqrt{37}\bigr)-8 =2\sqrt{37}>0,
logo é mínimo local. Para obter as coordenadas, calculamos g(x_{1}) e g(x_{2}) via substituição, gerando
g\Bigl(\tfrac{4-\sqrt{37}}{3}\Bigr) =\frac{-110+74\sqrt{37}}{27}, \quad g\Bigl(\tfrac{4+\sqrt{37}}{3}\Bigr) =\frac{-110-74\sqrt{37}}{27}.

Passo 4

O ponto de inflexão ocorre onde g''(x)=0:
6x-8=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.
A ordenada é
g\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{3} -4\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2} -7\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr) +10 =\frac{-110}{27}.

Resposta

(a) Máximo local em
\displaystyle\Bigl(\tfrac{4-\sqrt{37}}{3},\,\tfrac{-110+74\sqrt{37}}{27}\Bigr)
Mínimo local em
\displaystyle\Bigl(\tfrac{4+\sqrt{37}}{3},\,\tfrac{-110-74\sqrt{37}}{27}\Bigr)
(b) Ponto de inflexão em
\displaystyle\Bigl(\tfrac{4}{3},\,\tfrac{-110}{27}\Bigr)

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