QUESTÃO 11. Seja f(x)=\left[\frac{\operatorname{sen}(8 x)}{\left(4 x^{3}+1\right)}\right]^{3}. Calcular f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\biggl[\frac{\sin(8x)}{4x^{3}+1}\biggr]^{3}
e pede f'(x). O conteúdo principal aqui é derivação de uma função composta (regra da cadeia) junto com derivação de quociente (regra do quociente).

Passo 2

Chamemos
g(x)=\frac{\sin(8x)}{4x^{3}+1},
de modo que
f(x)=\bigl[g(x)\bigr]^{3}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=3\bigl[g(x)\bigr]^{2}\,g'(x).

Passo 3

Agora precisamos de g'(x). Como
g(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, \quad u(x)=\sin(8x), \quad v(x)=4x^{3}+1,
aplicamos a regra do quociente:
g'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl[v(x)\bigr]^{2}}.
Sabendo que
u'(x)=\frac{d}{dx}\sin(8x)=8\cos(8x), \quad v'(x)=\frac{d}{dx}(4x^{3}+1)=12x^{2},
temos
g'(x) =\frac{8\cos(8x)\,(4x^{3}+1)\;-\;12x^{2}\,\sin(8x)} {(4x^{3}+1)^{2}}.

Passo 4

Finalmente, substituindo g(x) e g'(x) em
f'(x)=3\bigl[g(x)\bigr]^{2}\,g'(x),
obtemos
f'(x) =3\!\left(\frac{\sin(8x)}{4x^{3}+1}\right)^{2} \cdot \frac{8\cos(8x)\,(4x^{3}+1)-12x^{2}\,\sin(8x)} {(4x^{3}+1)^{2}}.
Podemos juntar os denominadores (4x^{3}+1)^{2} e \bigl(\frac{\sin(8x)}{4x^{3}+1}\bigr)^{2} para escrever de forma única:
f'(x) =\frac{3\,\sin^{2}(8x)\,\bigl[\,8\cos(8x)\,(4x^{3}+1)-12x^{2}\sin(8x)\bigr]} {(4x^{3}+1)^{4}}.

Resposta

f'(x) =\frac{3\,\sin^{2}(8x)\,\bigl[\,8\cos(8x)\,(4x^{3}+1)-12x^{2}\sin(8x)\bigr]} {(4x^{3}+1)^{4}}.

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