QUESTÃO 12. Sabendo que f(x)=4 \operatorname{sec} ^{6}(8 x), calcule f^{\prime}\left(\frac{3 \pi}{4}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = 4\,\operatorname{sec}^{6}\bigl(8x\bigr)
e pede f'\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia e a derivada de \operatorname{sec}(u), que é
\frac{d}{du}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\,\tan(u).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em dois níveis, primeiro para a potência e depois para \operatorname{sec}(8x):
f'(x) =4\cdot 6\,\operatorname{sec}^{5}(8x)\,\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(8x)\bigr] =24\,\operatorname{sec}^{5}(8x)\,\bigl[\operatorname{sec}(8x)\tan(8x)\cdot 8\bigr].
Agrupando os fatores, obtemos
f'(x) =24\cdot 8\,\operatorname{sec}^{6}(8x)\,\tan(8x) =192\,\operatorname{sec}^{6}(8x)\,\tan(8x).

Passo 3

Agora avaliamos em x=\tfrac{3\pi}{4}. Primeiro calculamos o argumento:
8x = 8\cdot \tfrac{3\pi}{4} = 6\pi.
Como \cos(6\pi)=1 e \sin(6\pi)=0, temos
\operatorname{sec}(6\pi)=1, \quad \tan(6\pi)=0.
Logo
f'\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr) =192\cdot 1^{6}\cdot 0 =0.

Resposta

f'\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=0.

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