Questão 10 a) Calcule o determinante da matriz B=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ 4 & 1 & 0 \end{array}\right] b) Mostre que \operatorname{det}\left(B^{T}\right)=\operatorname{det}(B). Passo 1O enunciado pede duas coisas: a) calcular o determinante da matriz B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & 3\\\\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix} b) mostrar que \det(B^{T}) = \det(B). Para (a) vamos usar a regra de Sarrus para matrizes 3\times3. Para (b) usamos a propriedade geral de que a operação de transposição não altera o determinante. Passo 2Aplicando a regra de Sarrus em B = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & 3\\\\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}, temos \det(B) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr). Substituindo: \det(B) = 0\cdot0\cdot0 + 2\cdot3\cdot4 + (-1)\cdot1\cdot1 - \bigl((-1)\cdot0\cdot4 + 0\cdot3\cdot1 + 2\cdot1\cdot0\bigr) = 0 + 24 -1 - (0+0+0) = 23. Passo 3O determinante satisfaz, para toda matriz quadrada A, a propriedade \det\bigl(A^{T}\bigr) = \det(A). Isso decorre da definição de \det como soma sobre permutações, que é invariante sob troca de índices. Portanto, \det\bigl(B^{T}\bigr) = \det(B) = 23. Respostaa) \det(B)=23 b) \det(B^{T})=\det(B)=23 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados Questão 9 a) Verifique se a matriz A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right] é invertível. b) Caso seja, calcule sua inversa. Questão 8 a) Demonstre que o determinante de uma matriz triangular 3 \times 3 é o produto dos elementos da diagonal. b) Aplique esse resultado na matriz e calcule \operatorname{det}(T). T=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\\\ 0 & 4 & -1 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] Questão 11 a) Sabendo que A^{3}=\left(A^{2}\right) \cdot A=(A \cdot A) \cdot A=A \cdot A \cdot A, calcule \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}\left(A^{3}\right) b) Calcule \operatorname{det}(5 A). A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & 6 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right] Questão 12 Aplique o escalonamento à matriz: D=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 6 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right]