Questão 10

a) Calcule o determinante da matriz
B=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ 4 & 1 & 0 \end{array}\right]
b) Mostre que \operatorname{det}\left(B^{T}\right)=\operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) calcular o determinante da matriz
B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & 3\\\\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}
b) mostrar que \det(B^{T}) = \det(B).
Para (a) vamos usar a regra de Sarrus para matrizes 3\times3. Para (b) usamos a propriedade geral de que a operação de transposição não altera o determinante.

Passo 2

Aplicando a regra de Sarrus em
B = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & 3\\\\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix},
temos
\det(B) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Substituindo:
\det(B) = 0\cdot0\cdot0 + 2\cdot3\cdot4 + (-1)\cdot1\cdot1 - \bigl((-1)\cdot0\cdot4 + 0\cdot3\cdot1 + 2\cdot1\cdot0\bigr) = 0 + 24 -1 - (0+0+0) = 23.

Passo 3

O determinante satisfaz, para toda matriz quadrada A, a propriedade
\det\bigl(A^{T}\bigr) = \det(A).
Isso decorre da definição de \det como soma sobre permutações, que é invariante sob troca de índices. Portanto,
\det\bigl(B^{T}\bigr) = \det(B) = 23.

Resposta

a) \det(B)=23
b) \det(B^{T})=\det(B)=23

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