Questão 9

a) Verifique se a matriz
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right]
é invertível.
b) Caso seja, calcule sua inversa.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 3 & 4\end{pmatrix}
e pede para (a) verificar se ela é invertível e, caso seja, (b) calcular A^{-1}. O conteúdo aqui é álgebra linear básica, em que usamos o determinante para checar a invertibilidade e a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2.]

Passo 2

Calculamos o determinante de A pela regra
\det(A)=1\cdot4 - 2\cdot3.

Passo 3

Efetuando a conta,
\det(A)=4 - 6 = -2.
Como \det(A)\neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 4

Para uma matriz
A = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
a inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aqui temos a=1, b=2, c=3, d=4 e \det(A)=-2. Logo,
A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[4pt] -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\[4pt] \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

(a) A matriz A é invertível, pois \det(A)=-2\neq0.
(b)
A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\[4pt] \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.]

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