Questão 11

a) Sabendo que A^{3}=\left(A^{2}\right) \cdot A=(A \cdot A) \cdot A=A \cdot A \cdot A, calcule \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}\left(A^{3}\right)
b) Calcule \operatorname{det}(5 A).
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & 6 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[6pt] 2 & 4 & 6 \\[6pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede:
a) \det(A) e \det(A^3).
b) \det(5A).
Conteúdo usado: conceito de determinante, linearidade em cada linha, e as propriedades
\det(AB)=\det(A)\det(B),\quad \det(A^k)=\bigl(\det(A)\bigr)^k,\quad \det(cA)=c^n\det(A)\text{ para matriz }n\times n.]

Passo 2

Para achar \det(A), note que a segunda linha de A é o dobro da primeira, pois
(2,4,6)=2\cdot(1,2,3).
Quando uma linha é múltiplo de outra, o determinante é zero. Logo,
\det(A)=0.

Passo 3

Para \det(A^3), usamos que \det(A^3)=\bigl(\det(A)\bigr)^3. Como \det(A)=0,
\det(A^3)=0^3=0.

Passo 4

Para \det(5A), usamos que se A é 3\times3 então
\det(5A)=5^3\det(A)=125\cdot\det(A).
Como \det(A)=0,
\det(5A)=125\cdot0=0.

Resposta

a) \det(A)=0 e \det(A^3)=0.
b) \det(5A)=0.

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