Questão 11 a) Sabendo que A^{3}=\left(A^{2}\right) \cdot A=(A \cdot A) \cdot A=A \cdot A \cdot A, calcule \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}\left(A^{3}\right) b) Calcule \operatorname{det}(5 A). A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & 6 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right] Passo 1O enunciado dá a matriz A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[6pt] 2 & 4 & 6 \\[6pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} e pede: a) \det(A) e \det(A^3). b) \det(5A). Conteúdo usado: conceito de determinante, linearidade em cada linha, e as propriedades \det(AB)=\det(A)\det(B),\quad \det(A^k)=\bigl(\det(A)\bigr)^k,\quad \det(cA)=c^n\det(A)\text{ para matriz }n\times n.] Passo 2Para achar \det(A), note que a segunda linha de A é o dobro da primeira, pois (2,4,6)=2\cdot(1,2,3). Quando uma linha é múltiplo de outra, o determinante é zero. Logo, \det(A)=0. Passo 3Para \det(A^3), usamos que \det(A^3)=\bigl(\det(A)\bigr)^3. Como \det(A)=0, \det(A^3)=0^3=0. Passo 4Para \det(5A), usamos que se A é 3\times3 então \det(5A)=5^3\det(A)=125\cdot\det(A). Como \det(A)=0, \det(5A)=125\cdot0=0. Respostaa) \det(A)=0 e \det(A^3)=0. b) \det(5A)=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados Questão 10 a) Calcule o determinante da matriz B=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ 4 & 1 & 0 \end{array}\right] b) Mostre que \operatorname{det}\left(B^{T}\right)=\operatorname{det}(B). Questão 9 a) Verifique se a matriz A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right] é invertível. b) Caso seja, calcule sua inversa. Questão 12 Aplique o escalonamento à matriz: D=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 6 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right] Questão 13 a) Resolva o sistema pelo método de escalonamento: \left\{\begin{array}{l} x+2 y+z=4 \\\\ 2 x-y+3 z=5 \\\\ 3 x+3 y+4 z=10 \end{array}\right. b) Verifique a solução encontrada substituindo no sistema original.