Questão 12 Aplique o escalonamento à matriz:
D=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 6 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o escalonamento (eliminação de Gauss) na matriz
D=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Vamos usar operações elementares de linha para zerar os elementos abaixo dos pivôs, obtendo a forma escalonada.

Passo 2

O primeiro pivô é 2 em posição (1,1). Para zerar os elementos na coluna 1 das linhas 2 e 3, fazemos:
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac12R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac32R_1.
Após essas operações, a matriz vira
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\\\ 0 & -3 & -3\\\\ 0 & -4 & -8 \end{pmatrix}.

Passo 3

O segundo pivô é -3 em posição (2,2). Para zerar o elemento na coluna 2 da linha 3, aplicamos
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{4}{3}R_2.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\\\ 0 & -3 & -3\\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora cada pivô está à direita do pivô da linha de cima, e todos os elementos abaixo dos pivôs são zero. Portanto, a matriz já está na forma escalonada.

Resposta

A matriz escalonada de D é
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\\\ 0 & -3 & -3\\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.

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