Questão 8

a) Demonstre que o determinante de uma matriz triangular 3 \times 3 é o produto dos elementos da diagonal.
b) Aplique esse resultado na matriz e calcule \operatorname{det}(T).
T=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1 \\\\ 0 & 4 & -1 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que a gente prove que, para uma matriz triangular superior 3\times3, o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, e em seguida aplique esse resultado na matriz
T=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\[6pt] 0 & 4 & -1 \\[6pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Vamos usar a expansão por cofatores (regra de Laplace) ao longo da primeira coluna.]

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\[4pt] 0 & a_{22} & a_{23} \\[4pt] 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}.
Ao expandir \det(A) pela primeira coluna, apenas o elemento a_{11} contribui, pois os outros são zero. Então
\det(A) = a_{11}\, \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\[4pt] 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\bigl(a_{22}a_{33}-0\bigr) = a_{11}a_{22}a_{33}.
Isso mostra que, de fato, o determinante de A é o produto dos seus três elementos da diagonal.]

Passo 3

Na matriz dada
T=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 4 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
os elementos da diagonal são 3, 4 e 2. Pelo resultado anterior,
\det(T)=3\cdot4\cdot2=24.]

Resposta

\det(T)=24

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