Questão 10. Calcule as integrais:
integral d x(5-4 x-x^2)^52

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxl(5-4x-x^2r)^5/2
Este tipo de integral envolve uma expressão da forma (a^2 - (x+b)^2)^-5/2. Para resolver vamos:
1. completar o quadrado no polinômio do denominador,
2. usar substituição trigonométrica x+2=3sintheta,
3. integrar em theta e depois voltar a x.

Passo 2

Completa-se o quadrado em 5-4x-x^2:
5-4x-x^2 = -(x^2+4x-5) = -l((x+2)^2-9r) =9 - (x+2)^2
Fazendo a substituição
x+2 = 3sintheta, dx = 3costheta,dtheta,
temos
9-(x+2)^2 = 9cos^2theta,
logo
l(5-4x-x^2r)^5/2 = l(9cos^2thetar)^5/2 =9^5/2,cos^5theta =243,cos^5theta

Passo 3

Substituindo na integral:
integral dx(5-4x-x^2)^5/2 = integral 3costheta,dtheta243,cos^5theta = 3243integral sec^4theta,dtheta = 181integral sec^4theta,dtheta

Passo 4

Para integrar integral sec^4theta,dtheta, note que
sec^4theta = sec^2thetal(1+tan^2thetar)
e como d(tantheta)=sec^2theta,dtheta,
integral sec^4theta,dtheta = integral l(1+tan^2thetar)sec^2theta,dtheta = integral d(tantheta) + integral tan^2theta,d(tantheta) = tantheta + tan^3theta3 + C
Assim
integral dx(5-4x-x^2)^5/2 = 181l(tantheta + tfractan^3theta3r) + C

Passo 5

Volta-se a x. Da substituição x+2=3sintheta vem
sintheta = x+23, costheta = raiz1-sin^2theta = raiz9-(x+2)^23 = raiz5-4x-x^23,
portanto
tantheta = sinthetacostheta = x+2raiz5-4x-x^2
Logo
tan^3theta = (x+2)^3l(5-4x-x^2r)^3/2
Substituindo em 181l(tantheta+tfractan^3theta3r) e juntando termos, chega-se a
x+281raiz5-4x-x^2 +(x+2)^3243,(5-4x-x^2)^3/2 + C,
que, com denominação comum, equivale a
-2x^3 -12x^2 +3x +38 243,l(5-4x-x^2r)^3/2 + C

Resposta

boxed integral dxl(5-4x-x^2r)^5/2 = -2x^3 -12x^2 +3x +38 243,l(5-4x-x^2r)^3/2 + C

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