Seja gamma uma curva simples, fechada e plana e seja N=(a, b, c) um vetor unitário normal ao plano que contém gamma. Mostre que a área da região limitada por gamma é dada por
12 integralgamma(b z-c y) d x+(c x-a z) d y+(a y-b x) d z

Passo 1

Vamos usar cálculo vetorial para achar a área da região plana limitada por γ em um plano com normal unitário vec N=(a,b,c). A ideia é entender a área como um fluxo de vetor constante e usar o Teorema de Stokes.

Passo 2

Denotamos o vetor posição por vec r=(x,y,z) e seu diferencial por dvec r=(dx,dy,dz). Nossa meta é encontrar uma expressão de linha ao longo de γ que equivalha à área.
Definimos o vetor área da superfície S limitada por γ como vec A=integral duplaSvec N,dS. Como S é plano e vec N é constante, temos vec A= A,vec N, onde A é a área buscada.

Passo 3

Para aplicar Stokes, escolhemos o campo vetorial vec F=tfrac12,(vec Ntimesvec r). Pela identidade vetorial,
nablatimesvec F;=;nablatimesl(tfrac12,vec Ntimesvec rr);=;vec N,, onde usamos que vec N é constante e vale a fórmula nablatimes(vec atimesvec r)=2,vec a para constante vec a.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Stokes,
integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S = ointgammavec Fcdot dvec r;Longrightarrow;integral duplaSvec Ncdot dvec S=ointgammatfrac12,(vec Ntimesvec r)cdot dvec r O lado esquerdo é vec Ncdotvec A=A já que vec A=A,vec N. Logo,
A=tfrac12ointgamma(vec Ntimesvec r)cdot dvec r

Passo 5

Para relacionar com a forma pedida, note que
(vec Ntimesvec r)cdot dvec r=vec Ncdot(vec rtimes dvec r)
e que
vec rtimes dvec r=(y,dz - z,dy,;z,dx - x,dz,;x,dy - y,dx) Fazendo o produto escalar com vec N=(a,b,c) obtemos o integrando
vec Ncdot(vec rtimes dvec r)=(b z-c y),dx+(c x-a z),dy+(a y-b x),dz

Passo 6

Substituindo na fórmula acima, concluímos o resultado desejado.

Resposta

A=\frac12\int_{\gamma}(b z - c y),dx+(c x - a z),dy+(a y - b x),dz

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