Seja
uma curva simples, fechada e plana e seja
um vetor unitário normal ao plano que contém
. Mostre que a área da região limitada por
é dada por
Passo 1
Vamos usar cálculo vetorial para achar a área da região plana limitada por γ em um plano com normal unitário
. A ideia é entender a área como um fluxo de vetor constante e usar o Teorema de Stokes.
Passo 2
Denotamos o vetor posição por
e seu diferencial por
. Nossa meta é encontrar uma expressão de linha ao longo de γ que equivalha à área.
Definimos o vetor área da superfície limitada por γ como
. Como
é plano e
é constante, temos
, onde
é a área buscada.
Definimos o vetor área da superfície
Passo 3
Para aplicar Stokes, escolhemos o campo vetorial
. Pela identidade vetorial,
Passo 4
Aplicando o Teorema de Stokes,
Passo 5
Para relacionar com a forma pedida, note que
e que
Passo 6
Substituindo na fórmula acima, concluímos o resultado desejado.
Resposta
A=\frac12\int_{\gamma}(b z - c y),dx+(c x - a z),dy+(a y - b x),dz