Questão 10. Um castelo tem 20 portas que se encontram inicialmente fechadas. De quantos modos o rei pode abrir essas portas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 20 portas num castelo.
  • Todas as portas estão inicialmente fechadas.
O que é pedido:
  • Determinar “de quantos modos o rei pode abrir essas portas?” (ou seja, contar de quantas maneiras distintas o rei pode obter um conjunto de portas abertas a partir da situação inicial).

Passo 2

Interpretação natural e modelo combinatório (sem pular passos).
  • Cada porta, no final do processo de decisão do rei, pode estar em exatamente um de dois estados: aberta ou fechada.
  • Como as portas começam fechadas, o rei tem, para cada porta individualmente, a escolha de abri-la ou deixá-la fechada. Essas são duas alternativas por porta.
Agora a regra fundamental que usamos: princípio multiplicativo (ou regra do produto).
  • Se um experimento consiste em uma sequência de decisões independentes, e a primeira decisão tem a possibilidades, a segunda tem b possibilidades, a terceira tem c possibilidades, etc., então o número total de resultados possíveis é a\cdot b\cdot c\cdots.
  • Aqui, as decisões são as escolhas para cada uma das 20 portas, e cada escolha tem 2 possibilidades (abrir ou não abrir). As escolhas para portas diferentes são independentes (a escolha em uma porta não limita as escolhas nas outras).
  • Portanto, pelo princípio multiplicativo, o número total de configurações finais possíveis é
2\cdot 2\cdot 2\cdots (20\\ \text{fatores}) = 2^{20}.
Para fixar a ideia com exemplos pequenos (bem práticos):
  • Se houvesse 1 porta, temos 2 maneiras: {fechada, aberta} \Rightarrow 2 = 2^1.
  • Se houvesse 2 portas, temos 4 maneiras: \{00,01,10,11\} onde cada dígito indica fechada (0) ou aberta (1) \Rightarrow 4 = 2^2.
  • Se houvesse 3 portas, temos 8 maneiras (listar as 8 combinações binárias) \Rightarrow 8 = 2^3.
  • Assim para 20 portas segue 2^{20}.

Passo 3

Cálculo explícito do valor numérico de \,2^{20}\,:
  • Sabendo que \,2^{10}=1024, temos
2^{20}=(2^{10})^{2}=1024^{2}.
  • Calculando 1024^{2}: 1024\times1024=1\,048\,576.
Logo o número total de modos é \,2^{20}=1\,048\,576.

Passo 4

Observação sobre possíveis interpretações alternativas (para prevenir ambiguidade na prova) e justificativa da escolha:
  • Interpretação que usei (a mais comum para este enunciado): contar as configurações finais possíveis de portas abertas/fechadas — cada porta tem duas escolhas independentes — resposta \,2^{20}.
  • Outra interpretação possível (menos provável dado o enunciado curto) seria: “de quantas ordens diferentes o rei pode abrir todas as 20 portas, abrindo-as uma a uma até que todas fiquem abertas?” Nesse caso a pergunta seria sobre permutações das 20 portas e a resposta seria 20! (número de sequências distintas de abertura quando todas devem ser abertas).
  • Ainda, se o enunciado explicitamente exigisse que o rei abra pelo menos uma porta (não deixar todas fechadas), então o número seria 2^{20}-1.
  • Justificativa da minha escolha principal: a redação “De quantos modos o rei pode abrir essas portas?” costuma pedir o número de configurações possíveis de portas abertas a partir da situação inicial (cada porta aberta ou não), por isso a modelagem por escolhas binárias leva naturalmente a 2^{20}.

Resposta

2^{20}=1\,048\,576

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