Questão 10. Um castelo tem 20 portas que se encontram inicialmente fechadas. De quantos modos o rei pode abrir essas portas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
portas num castelo. - Todas as portas estão inicialmente fechadas.
O que é pedido:
- Determinar “de quantos modos o rei pode abrir essas portas?” (ou seja, contar de quantas maneiras distintas o rei pode obter um conjunto de portas abertas a partir da situação inicial).
Passo 2
Interpretação natural e modelo combinatório (sem pular passos).
- Cada porta, no final do processo de decisão do rei, pode estar em exatamente um de dois estados: aberta ou fechada.
- Como as portas começam fechadas, o rei tem, para cada porta individualmente, a escolha de abri-la ou deixá-la fechada. Essas são duas alternativas por porta.
Agora a regra fundamental que usamos: princípio multiplicativo (ou regra do produto).
- Se um experimento consiste em uma sequência de decisões independentes, e a primeira decisão tem
possibilidades, a segunda tem possibilidades, a terceira tem possibilidades, etc., então o número total de resultados possíveis é . - Aqui, as decisões são as escolhas para cada uma das
portas, e cada escolha tem possibilidades (abrir ou não abrir). As escolhas para portas diferentes são independentes (a escolha em uma porta não limita as escolhas nas outras). - Portanto, pelo princípio multiplicativo, o número total de configurações finais possíveis é
Para fixar a ideia com exemplos pequenos (bem práticos):
- Se houvesse
porta, temos maneiras: {fechada, aberta} . - Se houvesse
portas, temos maneiras: onde cada dígito indica fechada (0) ou aberta (1) . - Se houvesse
portas, temos maneiras (listar as combinações binárias) . - Assim para
portas segue .
Passo 3
Cálculo explícito do valor numérico de
:
- Sabendo que
, temos
- Calculando
: .
Logo o número total de modos é
.
Passo 4
Observação sobre possíveis interpretações alternativas (para prevenir ambiguidade na prova) e justificativa da escolha:
- Interpretação que usei (a mais comum para este enunciado): contar as configurações finais possíveis de portas abertas/fechadas — cada porta tem duas escolhas independentes — resposta
. - Outra interpretação possível (menos provável dado o enunciado curto) seria: “de quantas ordens diferentes o rei pode abrir todas as
portas, abrindo-as uma a uma até que todas fiquem abertas?” Nesse caso a pergunta seria sobre permutações das portas e a resposta seria (número de sequências distintas de abertura quando todas devem ser abertas). - Ainda, se o enunciado explicitamente exigisse que o rei abra pelo menos uma porta (não deixar todas fechadas), então o número seria
. - Justificativa da minha escolha principal: a redação “De quantos modos o rei pode abrir essas portas?” costuma pedir o número de configurações possíveis de portas abertas a partir da situação inicial (cada porta aberta ou não), por isso a modelagem por escolhas binárias leva naturalmente a
.