Questão 8. Qual o valor da soma das 25 primeiras linhas do triângulo de Pascal ?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual o valor da soma das 25 primeiras linhas do triângulo de Pascal?”
Informações relevantes (implícitas): o triângulo de Pascal tem linhas com coeficientes binomiais; a soma dos elementos de cada linha é uma potência de 2 (isso será mostrado). Vou adotar a convenção natural para esta explicação: a primeira linha do triângulo é a linha que contém apenas (ou seja, linha “1” =
). Assim, a linha
tem
termos e seus termos são os coeficientes
. O pedido é a soma das linhas
até
inclusive.
Informações relevantes (implícitas): o triângulo de Pascal tem linhas com coeficientes binomiais; a soma dos elementos de cada linha é uma potência de 2 (isso será mostrado). Vou adotar a convenção natural para esta explicação: a primeira linha do triângulo é a linha que contém apenas
Passo 2
Entender a soma de uma linha do triângulo de Pascal. Vou explicar o que é cada termo e por que a soma da linha é uma potência de
.
Definição de coeficiente binomial: o coeficiente
é o número de maneiras de escolher elementos dentre
, e aparece como coeficiente na expansão do binómio. Na linha
do triângulo (pela convenção acima), os termos são
.
é o número de maneiras de escolher
A soma dos elementos da linha
é portanto
Vou mostrar agora uma ferramenta que dá essa soma de forma imediata: o Teorema do Binómio (expansão de
).
Passo 3
Teorema do Binómio (versão que usamos aqui): para inteiro
,
Portanto a soma de todos os coeficientes binomiais com primeiro índice
é
.
Aplicando isso à linha
do triângulo: os coeficientes na linha
têm primeiro índice
, logo
Em palavras: a soma dos elementos da
-ésima linha (com a convenção adotada) é
. Exemplo pequeno para fixar: linha
tem soma
; linha
tem soma
(a linha
); linha
tem soma
(a linha
), e por aí vai.
Passo 4
Agora somar as primeiras 25 linhas. Pela observação anterior, a soma da linha
é
. Assim a soma procurada é
Isto é uma soma geométrica de razão
. Vou calcular essa soma usando a fórmula elementar.
Seja
Multiplicando por
:
Subtraindo as duas equações:
Passo 5
Agora calcular o valor numérico de
. Podemos usar potências conhecidas:
Então
Portanto