Questão 8. Qual o valor da soma das 25 primeiras linhas do triângulo de Pascal ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o valor da soma das 25 primeiras linhas do triângulo de Pascal?”
Informações relevantes (implícitas): o triângulo de Pascal tem linhas com coeficientes binomiais; a soma dos elementos de cada linha é uma potência de 2 (isso será mostrado). Vou adotar a convenção natural para esta explicação: a primeira linha do triângulo é a linha que contém apenas 1 (ou seja, linha “1” = [1]). Assim, a linha m tem m termos e seus termos são os coeficientes \binom{m-1}{0},\binom{m-1}{1},\dots,\binom{m-1}{m-1}. O pedido é a soma das linhas 1 até 25 inclusive.

Passo 2

Entender a soma de uma linha do triângulo de Pascal. Vou explicar o que é cada termo e por que a soma da linha é uma potência de 2.
Definição de coeficiente binomial: o coeficiente
\displaystyle \binom{n}{k}
é o número de maneiras de escolher k elementos dentre n, e aparece como coeficiente na expansão do binómio. Na linha m do triângulo (pela convenção acima), os termos são
\displaystyle \binom{m-1}{0},\binom{m-1}{1},\dots,\binom{m-1}{m-1}.
A soma dos elementos da linha m é portanto
\sum_{k=0}^{m-1} \binom{m-1}{k}.
Vou mostrar agora uma ferramenta que dá essa soma de forma imediata: o Teorema do Binómio (expansão de (1+1)^n).

Passo 3

Teorema do Binómio (versão que usamos aqui): para inteiro n\ge 0,
(1+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot 1^{n-k}\cdot 1^k=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.
Portanto a soma de todos os coeficientes binomiais com primeiro índice n é 2^n.
Aplicando isso à linha m do triângulo: os coeficientes na linha m têm primeiro índice m-1, logo
\sum_{k=0}^{m-1} \binom{m-1}{k}=2^{\,m-1}.
Em palavras: a soma dos elementos da m-ésima linha (com a convenção adotada) é 2^{m-1}. Exemplo pequeno para fixar: linha 1 tem soma 2^{0}=1; linha 2 tem soma 2^{1}=2 (a linha [1,1]); linha 3 tem soma 2^{2}=4 (a linha [1,2,1]), e por aí vai.

Passo 4

Agora somar as primeiras 25 linhas. Pela observação anterior, a soma da linha m é 2^{m-1}. Assim a soma procurada é
\sum_{m=1}^{25} 2^{\,m-1}=\sum_{j=0}^{24} 2^{j}.
Isto é uma soma geométrica de razão 2. Vou calcular essa soma usando a fórmula elementar.
Seja
S=\sum_{j=0}^{24}2^{j}=1+2+2^{2}+\dots+2^{24}.
Multiplicando por 2:
2S=2+2^{2}+\dots+2^{24}+2^{25}.
Subtraindo as duas equações:
2S-S=2^{25}-1 \quad\Rightarrow\quad S=2^{25}-1.

Passo 5

Agora calcular o valor numérico de 2^{25}-1. Podemos usar potências conhecidas:
2^{10}=1024,\qquad 2^{20}=(2^{10})^{2}=1024^{2}=1\,048\,576.
Então
2^{25}=2^{20}\cdot 2^{5}=1\,048\,576\cdot 32=33\,554\,432.
Portanto
2^{25}-1=33\,554\,432-1=33\,554\,431.

Resposta

33\,554\,431

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