Questão 13. Uma sala tem 12 lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se iluminá-la se pelo menos uma lâmpada deve ficar acesa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informação: a sala tem 12 lâmpadas com interruptores independentes; cada lâmpada pode ficar acesa ou apagada.
  • Pedido: contar de quantos modos diferentes a sala pode ser iluminada quando pelo menos uma lâmpada deve ficar acesa (ou seja, não é permitido que todas estejam apagadas).

Passo 2

Modelagem simples das possibilidades (regra do produto).
  • Cada lâmpada tem exatamente duas posições possíveis: acesa ou apagada. Vou denotar essas posições por “on” e “off”.
  • Como os interruptores são independentes, a escolha do estado de uma lâmpada não restringe a escolha das outras. Pela regra do produto (se um evento tem a possibilidades e outro tem b possibilidades, juntos têm a\cdot b possibilidades), o número total de configurações de todas as lâmpadas é
2^{12}.
Explicando a notação: aqui 2^{12} significa multiplicar 2 por si mesmo 12 vezes — uma vez para cada lâmpada.

Passo 3

Calcular 2^{12} de forma prática (passo a passo que dá pra fazer sem calculadora se souber potências de 2).
  • Conhecendo potências básicas: 2^{10}=1024.
  • Então
2^{12}=2^{10}\cdot 2^{2}=1024\cdot 4=4096.
Portanto há 4096 configurações possíveis no total, contando também a configuração em que todas as lâmpadas estão apagadas.

Passo 4

Aplicar a restrição “pelo menos uma lâmpada deve ficar acesa”.
  • Entre as 4096 configurações totais existe exatamente 1 configuração em que todas as lâmpadas estão apagadas (todas em “off”).
  • Como essa configuração é proibida, o número desejado é
2^{12}-1.

Passo 5

Cálculo final numérico:
2^{12}-1 = 4096-1 = 4095.

Passo 6

Interpretação alternativa (útil para entender melhor): correspondência com subconjuntos.
  • Pense nas 12 lâmpadas como um conjunto de 12 elementos. Cada escolha de quais lâmpadas deixar acesas corresponde a escolher um subconjunto desse conjunto (as lâmpadas acesas formam o subconjunto).
  • O número de todos os subconjuntos de um conjunto com 12 elementos é \sum_{k=0}^{12}\binom{12}{k}=2^{12}. Removendo o subconjunto vazio (nenhuma lâmpada acesa) sobram \sum_{k=1}^{12}\binom{12}{k}=2^{12}-1, que é o mesmo resultado. Isso reforça a solução por duas perspectivas equivalentes.

Passo 7

Um exemplo menor para fixar a ideia (pra você ter confiança na prova):
  • Se houvessem 3 lâmpadas, o total de configurações seria 2^3=8. Dessas, somente 1 é “todas apagadas”, então os modos com pelo menos uma acesa seriam 8-1=7. Dá pra listar e conferir facilmente: confirma a lógica.

Resposta

4095

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