Questão 13. Uma sala tem 12 lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se iluminá-la se pelo menos uma lâmpada deve ficar acesa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Informação: a sala tem
lâmpadas com interruptores independentes; cada lâmpada pode ficar acesa ou apagada. - Pedido: contar de quantos modos diferentes a sala pode ser iluminada quando pelo menos uma lâmpada deve ficar acesa (ou seja, não é permitido que todas estejam apagadas).
Passo 2
Modelagem simples das possibilidades (regra do produto).
- Cada lâmpada tem exatamente duas posições possíveis: acesa ou apagada. Vou denotar essas posições por “on” e “off”.
- Como os interruptores são independentes, a escolha do estado de uma lâmpada não restringe a escolha das outras. Pela regra do produto (se um evento tem
possibilidades e outro tem possibilidades, juntos têm possibilidades), o número total de configurações de todas as lâmpadas é
Explicando a notação: aqui
significa multiplicar
por si mesmo
vezes — uma vez para cada lâmpada.
Passo 3
Calcular
de forma prática (passo a passo que dá pra fazer sem calculadora se souber potências de 2).
- Conhecendo potências básicas:
. - Então
Portanto há
configurações possíveis no total, contando também a configuração em que todas as lâmpadas estão apagadas.
Passo 4
Aplicar a restrição “pelo menos uma lâmpada deve ficar acesa”.
- Entre as
configurações totais existe exatamente configuração em que todas as lâmpadas estão apagadas (todas em “off”). - Como essa configuração é proibida, o número desejado é
Passo 5
Cálculo final numérico:
Passo 6
Interpretação alternativa (útil para entender melhor): correspondência com subconjuntos.
- Pense nas
lâmpadas como um conjunto de elementos. Cada escolha de quais lâmpadas deixar acesas corresponde a escolher um subconjunto desse conjunto (as lâmpadas acesas formam o subconjunto). - O número de todos os subconjuntos de um conjunto com
elementos é . Removendo o subconjunto vazio (nenhuma lâmpada acesa) sobram , que é o mesmo resultado. Isso reforça a solução por duas perspectivas equivalentes.
Passo 7
Um exemplo menor para fixar a ideia (pra você ter confiança na prova):
- Se houvessem
lâmpadas, o total de configurações seria . Dessas, somente 1 é “todas apagadas”, então os modos com pelo menos uma acesa seriam . Dá pra listar e conferir facilmente: confirma a lógica.