Questão 11 (OBMEP-N3-2011). Com os algarismos 1,4,6 e 8 pode-se formar vários números de três algarismos distintos. Qual é a soma de todos esses números?

Passo 1

O enunciado dá os algarismos 1,4,6,8 e pede: formar todos os números de três algarismos distintos usando esses algarismos e encontrar a soma de todos esses números.
Informações relevantes fornecidas:
  • Conjunto de algarismos: \{1,4,6,8\}.
  • Cada número deve ter três algarismos distintos (ou seja, sem repetição).
  • O objetivo é a soma de todos os números de três algarismos possíveis com essa regra.

Passo 2

Primeiro precisamos saber quantos números de três algarismos distintos dá para formar com quatro algarismos.
Raciocínio: para formar um número de três algarismos escolhe-se primeiro o algarismo das centenas (4 opções), depois o das dezenas (restam 3 opções) e por fim o das unidades (restam 2 opções). Então o total de números é
4\cdot 3\cdot 2 = 24.

Passo 3

Agora uma observação importante (e muito útil em provas): por simetria, cada um dos algarismos 1,4,6,8 aparece o mesmo número de vezes em cada posição (centenas, dezenas, unidades). Vamos justificar isso de forma clara e simples.
Fixe um algarismo qualquer, por exemplo 4. Se quisermos contar quantas vezes o 4 aparece na casa das centenas, basta escolher os outros dois algarismos para dezenas e unidades em ordem: há 3 escolhas para a dezena e 2 para a unidade, total 3\cdot2=6 números com 4 nas centenas. O mesmo raciocínio vale para qualquer algarismo e para qualquer posição (se fixar 4 nas dezenas, escolhe-se centenas e unidades entre os 3 restantes em ordem: 3\cdot2=6). Portanto:
  • Cada algarismo aparece 6 vezes na posição das centenas.
  • Cada algarismo aparece 6 vezes na posição das dezenas.
  • Cada algarismo aparece 6 vezes na posição das unidades.

Passo 4

Calcular a contribuição de cada posição para a soma total. Se um algarismo d aparece 6 vezes nas centenas, sua contribuição total pelas centenas é 6\cdot 100\cdot d. Somando sobre todos os algarismos, a contribuição das centenas é
100\cdot 6\cdot (1+4+6+8).
Analogamente, a contribuição das dezenas é
10\cdot 6\cdot (1+4+6+8),
e a das unidades é
1\cdot 6\cdot (1+4+6+8).
Somando as três contribuições obtemos a soma total S:
S = 6\cdot(100+10+1)\cdot(1+4+6+8).

Passo 5

Agora fazemos as contas passo a passo, sem calculadora, para obter o valor numérico.
Primeiro a soma dos algarismos:
1+4+6+8 = 19.
Em seguida o fator dos lugares:
100+10+1 = 111.
Então a expressão fica
S = 6\cdot 111 \cdot 19.
Calculemos 111\cdot 19 de forma simples: 111\cdot 19 = 111\cdot(20-1) = 111\cdot20 - 111 = 2220 - 111 = 2109.
Agora 6\cdot 2109. Faça por partes: 2000\cdot6 = 12000, 100\cdot6 = 600, 9\cdot6 = 54. Somando: 12000+600+54 = 12654.
Podemos também conferir usando a ideia da média: a média dos algarismos é \dfrac{19}{4}, o valor médio de um número formado é 111\cdot \dfrac{19}{4}=\dfrac{2109}{4}=527{,}25. Multiplicando pela quantidade 24 24\cdot 527{,}25 = 12654, confirmação do resultado.

Resposta

12654

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