Questão 11 (OBMEP-N3-2011). Com os algarismos
e 8 pode-se formar vários números de três algarismos distintos. Qual é a soma de todos esses números?
Passo 1
O enunciado dá os algarismos
e pede: formar todos os números de três algarismos distintos usando esses algarismos e encontrar a soma de todos esses números.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Conjunto de algarismos:
. - Cada número deve ter três algarismos distintos (ou seja, sem repetição).
- O objetivo é a soma de todos os números de três algarismos possíveis com essa regra.
Passo 2
Primeiro precisamos saber quantos números de três algarismos distintos dá para formar com quatro algarismos.
Raciocínio: para formar um número de três algarismos escolhe-se primeiro o algarismo das centenas (4 opções), depois o das dezenas (restam 3 opções) e por fim o das unidades (restam 2 opções). Então o total de números é
Raciocínio: para formar um número de três algarismos escolhe-se primeiro o algarismo das centenas (4 opções), depois o das dezenas (restam 3 opções) e por fim o das unidades (restam 2 opções). Então o total de números é
Passo 3
Agora uma observação importante (e muito útil em provas): por simetria, cada um dos algarismos
aparece o mesmo número de vezes em cada posição (centenas, dezenas, unidades). Vamos justificar isso de forma clara e simples.
Fixe um algarismo qualquer, por exemplo
. Se quisermos contar quantas vezes o
aparece na casa das centenas, basta escolher os outros dois algarismos para dezenas e unidades em ordem: há
escolhas para a dezena e
para a unidade, total
números com
nas centenas. O mesmo raciocínio vale para qualquer algarismo e para qualquer posição (se fixar
nas dezenas, escolhe-se centenas e unidades entre os 3 restantes em ordem:
). Portanto:
- Cada algarismo aparece
vezes na posição das centenas. - Cada algarismo aparece
vezes na posição das dezenas. - Cada algarismo aparece
vezes na posição das unidades.
Passo 4
Calcular a contribuição de cada posição para a soma total. Se um algarismo
aparece
vezes nas centenas, sua contribuição total pelas centenas é
. Somando sobre todos os algarismos, a contribuição das centenas é
Analogamente, a contribuição das dezenas é
e a das unidades é
Somando as três contribuições obtemos a soma total
:
Passo 5
Agora fazemos as contas passo a passo, sem calculadora, para obter o valor numérico.
Primeiro a soma dos algarismos:
Em seguida o fator dos lugares:
Então a expressão fica
Calculemos
de forma simples:
Agora
. Faça por partes:
,
,
. Somando:
Podemos também conferir usando a ideia da média: a média dos algarismos é
, o valor médio de um número formado é
. Multiplicando pela quantidade
dá
, confirmação do resultado.
Resposta
12654