Questão 9 (UFC - 2008). Uma comissão de 5 membros será formada escolhendo-se parlamentares de um conjunto com 5 senadores e 3 deputados. Determine o número de comissões distintas que podem ser formadas obedecendo à regra: a presidência da comissão deve ser ocupada por um senador, e a vice-presidência, por um deputado (duas comissões com as mesmas pessoas, mas que a presidência ou a vice-presidência sejam ocupadas por pessoas diferentes, são consideradas distintas).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Há
senadores. - Há
deputados. - A comissão terá
membros no total. - A presidência da comissão deve ser ocupada por um senador.
- A vice-presidência deve ser ocupada por um deputado.
- Duas comissões com exatamente as mesmas pessoas, mas com presidência ou vice-presidência trocadas, são consideradas distintas.
- Há
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o número de comissões distintas que podem ser formadas obedecendo às regras acima.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicadinhos, sem pressa):
-
Princípio multiplicativo (regra do produto): se um processo pode ser dividido em etapas independentes, e a etapa 1 tem
possibilidades, a etapa 2 tem possibilidades (independente da 1), etc., então o número total de possibilidades é . Exemplo simples: escolher uma sobremesa entre e uma bebida entre dá combinações. -
Combinações (quando a ordem não importa): o número de maneiras de escolher
elementos distintos de um conjunto com elementos, sem se importar com a ordem, é dado pelo coeficiente binomial
onde
(fatorial) é
. Ex.:
.
Vamos aplicar essas ideias: separar em etapas (escolher presidente, escolher vice, escolher os demais membros) e multiplicar as possibilidades.
Passo 3
Primeira etapa: escolher o presidente.
- A presidência deve ser ocupada por um senador.
- Há
senadores disponíveis. - Logo, número de maneiras de escolher o presidente =
.
Passo 4
Segunda etapa: escolher o vice-presidente.
- A vice-presidência deve ser ocupada por um deputado.
- Há
deputados disponíveis. - Logo, número de maneiras de escolher o vice =
.
Passo 5
Terceira etapa: escolher os outros
membros da comissão.
- A comissão tem
membros no total. Já escolhemos 2 (presidente e vice). Precisamos escolher mais pessoas entre os parlamentares restantes. - Após escolher presidente (um senador) e vice (um deputado), restam:
-
senadores não escolhidos, -
deputados não escolhidos.
-
- Portanto há
parlamentares disponíveis para preencher os assentos restantes. - Como aqui a ordem entre esses
membros não importa (são apenas membros, sem cargos), usamos combinações:
Passo 6
Aplicar o princípio multiplicativo para combinar as etapas.
- Número total de comissões = (escolhas para presidente)
(escolhas para vice) (escolhas para os outros membros). - Substituindo os valores:
- Calculando:
Passo 7
Verificação rápida por método alternativo (resumo, só para confirmar a intuição):
- Poderia-se também somar sobre as possíveis distribuições na comissão (por exemplo,
senadores + deputado, ou senadores + deputados, ou senadores + deputados), escolher os membros de cada tipo e depois escolher quem dentre os senadores será presidente e quem dentre os deputados será vice. Esse cálculo leva ao mesmo resultado . (Não é necessário refazer tudo, é só para checar que a contagem direta está consistente.)
Resposta
300