Questão 9 (UFC - 2008). Uma comissão de 5 membros será formada escolhendo-se parlamentares de um conjunto com 5 senadores e 3 deputados. Determine o número de comissões distintas que podem ser formadas obedecendo à regra: a presidência da comissão deve ser ocupada por um senador, e a vice-presidência, por um deputado (duas comissões com as mesmas pessoas, mas que a presidência ou a vice-presidência sejam ocupadas por pessoas diferentes, são consideradas distintas).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • 5 senadores.
    • 3 deputados.
    • A comissão terá 5 membros no total.
    • A presidência da comissão deve ser ocupada por um senador.
    • A vice-presidência deve ser ocupada por um deputado.
    • Duas comissões com exatamente as mesmas pessoas, mas com presidência ou vice-presidência trocadas, são consideradas distintas.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o número de comissões distintas que podem ser formadas obedecendo às regras acima.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicadinhos, sem pressa):
  • Princípio multiplicativo (regra do produto): se um processo pode ser dividido em etapas independentes, e a etapa 1 tem a possibilidades, a etapa 2 tem b possibilidades (independente da 1), etc., então o número total de possibilidades é a\cdot b\cdot\ldots. Exemplo simples: escolher uma sobremesa entre 3 e uma bebida entre 2 3\cdot2=6 combinações.
  • Combinações (quando a ordem não importa): o número de maneiras de escolher k elementos distintos de um conjunto com n elementos, sem se importar com a ordem, é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=(1\cdot2\cdot3\cdots n). Ex.: \binom{6}{3}=\dfrac{6!}{3!3!}=20.
Vamos aplicar essas ideias: separar em etapas (escolher presidente, escolher vice, escolher os demais membros) e multiplicar as possibilidades.

Passo 3

Primeira etapa: escolher o presidente.
  • A presidência deve ser ocupada por um senador.
  • 5 senadores disponíveis.
  • Logo, número de maneiras de escolher o presidente = 5.

Passo 4

Segunda etapa: escolher o vice-presidente.
  • A vice-presidência deve ser ocupada por um deputado.
  • 3 deputados disponíveis.
  • Logo, número de maneiras de escolher o vice = 3.

Passo 5

Terceira etapa: escolher os outros 3 membros da comissão.
  • A comissão tem 5 membros no total. Já escolhemos 2 (presidente e vice). Precisamos escolher mais 3 pessoas entre os parlamentares restantes.
  • Após escolher presidente (um senador) e vice (um deputado), restam:
    • 5-1=4 senadores não escolhidos,
    • 3-1=2 deputados não escolhidos.
  • Portanto há 4+2=6 parlamentares disponíveis para preencher os 3 assentos restantes.
  • Como aqui a ordem entre esses 3 membros não importa (são apenas membros, sem cargos), usamos combinações:
\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!3!}=20.

Passo 6

Aplicar o princípio multiplicativo para combinar as etapas.
  • Número total de comissões = (escolhas para presidente) \times (escolhas para vice) \times (escolhas para os outros 3 membros).
  • Substituindo os valores:
5\cdot 3\cdot \binom{6}{3}=5\cdot 3\cdot 20.
  • Calculando:
5\cdot 3\cdot 20=15\cdot 20=300.

Passo 7

Verificação rápida por método alternativo (resumo, só para confirmar a intuição):
  • Poderia-se também somar sobre as possíveis distribuições na comissão (por exemplo, 4 senadores + 1 deputado, ou 3 senadores + 2 deputados, ou 2 senadores + 3 deputados), escolher os membros de cada tipo e depois escolher quem dentre os senadores será presidente e quem dentre os deputados será vice. Esse cálculo leva ao mesmo resultado 300. (Não é necessário refazer tudo, é só para checar que a contagem direta está consistente.)

Resposta

300

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