Questão 9.

Calcule a integral de linha
\int_{C}\left(y^{5}+\frac{10}{3} x^{2} y^{3}+e^{x^{2}} \tan \left(x^{3}+\sqrt{x^{2}+3}\right)\right) d x+\left(-x^{5}+\cos \left(e^{y^{2}}\right) \tan \left(\sqrt{y^{2}+3}\right)\right) d y
onde C é a curva fechada, orientada negativamente, formada pela união da circunferência x^{2}+y^{2}=9 contida no primeiro quadrante com dois segmentos de reta: um que une os pontos (0,0) e(3,0) e outro que une os pontos (0,0) e(0,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy
com
P(x,y)=y^{5}+\tfrac{10}{3}x^{2}y^{3}+e^{x^{2}}\tan\bigl(x^{3}+\sqrt{x^{2}+3}\bigr),
Q(x,y)=-x^{5}+\cos\bigl(e^{y^{2}}\bigr)\tan\bigl(\sqrt{y^{2}+3}\bigr),
onde C é a curva fechada orientada negativamente (no sentido horário) que encera o quarto de disco de raio 3 no primeiro quadrante. Vamos usar o Teorema de Green com ajuste de sinal por causa da orientação negativa e depois fazer a integral dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para curva orientada positivamente (sentido anti-horário),
\oint P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Como C é orientada negativamente (horário), temos
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =-\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Agora calculemos
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x^{5}+\cos(e^{y^{2}})\tan(\sqrt{y^{2}+3})\bigr) =-5x^{4},
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(y^{5}+\tfrac{10}{3}x^{2}y^{3}+e^{x^{2}}\tan(\dots)\Bigr) =5y^{4}+10x^{2}y^{2}.
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-5x^{4}-\bigl(5y^{4}+10x^{2}y^{2}\bigr) =-5\bigl(x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}\bigr) =-5(x^{2}+y^{2})^{2}.

Passo 3

O domínio D é o quarto de disco de raio 3 no primeiro quadrante:
D=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le 3,\;0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\}.
Em coordenadas polares, x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Substituindo no Teorema de Green com o sinal de orientação,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =-\iint_{D}\bigl[-5(r^{2})^{2}\bigr]\,dA =5\iint_{D}r^{4}\,dA.
Em polares,
\iint_{D}r^{4}\,dA =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{3}r^{4}\,(r\,dr)\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\!d\theta\int_{0}^{3}r^{5}\,dr.

Passo 5

Calcule a integral em r:
\int_{0}^{3}r^{5}\,dr =\frac{r^{6}}{6}\Bigl\vert_{0}^{3} =\frac{3^{6}}{6} =\frac{729}{6} =\frac{243}{2}.
E em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\!d\theta =\frac{\pi}{2}.
Portanto
\iint_{D}r^{4}\,dA =\frac{243}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{243\pi}{4}.
Multiplicando por 5,
5\iint_{D}r^{4}\,dA =5\cdot\frac{243\pi}{4} =\frac{1215\pi}{4}.

Resposta

\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\frac{1215\pi}{4}.

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