Questão 10. Considere a equação diferencial
no intervalo
, onde
é uma constante.
a) Mostre que se
é qualquer solução, e
, então
, para alguma constante
.
b) Se
, mostre que
quando
;
c) Se
, mostre que
quando
;
d) O que ocorre se
?
a) Mostre que se
b) Se
c) Se
d) O que ocorre se
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
em
, com
constante. O conteúdo é resolução de ODE linear de 1ª ordem. Vamos usar o método de fator integrante/função invariante para mostrar que
é constante e, a partir daí, estudar o comportamento de
.
Passo 2
Defina
Usando a regra do produto, calculamos
Mas como
, segue
logo
implica
, constante.
Passo 3
Da igualdade
segue imediatamente a forma geral da solução:
Passo 4
Se
, então
pois a exponencial de expoente negativo tende a zero. Como
, temos
Passo 5
Se
, então
Logo
(para
; em geral
cresce sem limite em módulo).
Passo 6
Se
, a equação fica
, cuja única solução é
ou seja,
é constante em todo o domínio.
Resposta
a)
(constante).
b) Se ,
.
c) Se ,
.
d) Se ,
é constante.
b) Se
c) Se
d) Se