Questão 9. Considere a equação diferencial y^{\prime \prime}=3 x+1.
a) Ache todas soluções no intervalo 0 \leq x \leq 1;
b) Ache a solução satisfazendo \varphi(0)=1, \varphi^{\prime}(0)=2;
c) Ache a solução satisfazendo \varphi(0)=0, \varphi(1)=3.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' = 3x + 1
no intervalo 0 \le x \le 1. O conteúdo aqui é integração de equação não homogênea de segunda ordem: precisamos integrar duas vezes para obter a solução geral, que envolverá duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Integramos uma vez para obter y'. Como
y'' = 3x + 1,
temos
y'(x) = \int (3x + 1)\,dx = \frac{3}{2}x^2 + x + C_1.
Integramos mais uma vez para achar y:
y(x) = \int\Bigl(\frac{3}{2}x^2 + x + C_1\Bigr)\,dx = \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C_1 x + C_2.
Esta é a solução geral no intervalo.

Passo 3

Para a parte (b), impomos
\varphi(0)=1,\quad \varphi'(0)=2.
Em x=0 a solução geral dá \varphi(0)=C_2=1. A derivada é \varphi'(x)=\frac{3}{2}x^2 + x + C_1, então \varphi'(0)=C_1=2. Logo
\varphi(x)=\frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x + 1.

Passo 4

Para a parte (c), impomos
\varphi(0)=0,\quad \varphi(1)=3.
Em x=0 temos C_2=0. Em x=1,
\varphi(1)=\frac{1}{2}\cdot1^3 + \frac{1}{2}\cdot1^2 + C_1\cdot1 + 0 =1 + C_1 = 3
de onde C_1=2. Assim
\varphi(x)=\frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x.

Resposta

(a) A solução geral é
y(x)=\frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C_1 x + C_2.
(b) \varphi(x)=\frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x + 1.
(c) \varphi(x)=\frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x.

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