Questão 9. Considere a equação diferencial
.
a) Ache todas soluções no intervalo
;
b) Ache a solução satisfazendo
;
c) Ache a solução satisfazendo
.
a) Ache todas soluções no intervalo
b) Ache a solução satisfazendo
c) Ache a solução satisfazendo
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
no intervalo
. O conteúdo aqui é integração de equação não homogênea de segunda ordem: precisamos integrar duas vezes para obter a solução geral, que envolverá duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Integramos uma vez para obter
. Como
temos
Integramos mais uma vez para achar
:
Esta é a solução geral no intervalo.
Passo 3
Para a parte (b), impomos
Em
a solução geral dá
. A derivada é
, então
. Logo
Passo 4
Para a parte (c), impomos
Em
temos
. Em
,
de onde
. Assim
Resposta
(a) A solução geral é
(b)
(c)
(c)