Questão-9. Seja o subespaço vetorial U=[(1,1,-1,0),(-1,0,0,1)]. Determine: O subespaço W subset R^4 tal que R^4=U oplus W
a) Uma base ortogonal para o R^4

Passo 1

O enunciado diz que temos o subespaço vetorial U gerado pelos vetores u₁=(1,1,−1,0) e u₂=(−1,0,0,1), e pede um subespaço W tal que R⁴=U⊕W e, em seguida, uma base ortogonal de R⁴ que combine U e W. O conteúdo envolve soma direta de subespaços, complemento ortogonal e ortogonalização (Gram–Schmidt).

Passo 2

Primeiro, escolhemos como base de U os vetores u₁ e u₂. Para construir uma base ortogonal de R⁴, vamos ortogonalizar estes dois vetores usando o processo de Gram–Schmidt.

Passo 3

Aplicando Gram–Schmidt em u₁ e u₂: definimos v₁=u₁=(1,1,−1,0). Depois calculamos v₂=u₂−proj_{v₁}(u₂), em que
(u₂·v₁)=−1, (v₁·v₁)=3, então
projv₁(u₂)=−13(1,1,−1,0)
e
v₂=(−1,0,0,1)+13(1,1,−1,0)=l(-tfrac23,tfrac13,-tfrac13,1r)
Para evitar frações, podemos multiplicar v₂ por 3, ficando v₂=(−2,1,−1,3), que mantém a ortogonalidade.

Passo 4

Agora determinamos W=U^⊥, isto é, todos os x=(x₁,x₂,x₃,x₄) que satisfazem x·u₁=0 e x·u₂=0. Isso dá o sistema
x₁+x₂−x₃=0, −x₁+x₄=0
Daí x₃=x₁+x₂ e x₄=x₁. Tomando parâmetros t=x₁ e s=x₂, obtemos a base de W: w₁=(1,0,1,1) e w₂=(0,1,1,0).

Passo 5

Para ter uma base ortogonal em R⁴, precisamos também ortogonalizar w₁ e w₂ entre si. Aplicamos Gram–Schmidt em W: mantemos w₁=(1,0,1,1) e definimos
w₂'=w₂-w₂·w₁w₁·w₁w₁=(0,1,1,0)-13(1,0,1,1)=l(-tfrac13,1,tfrac23,-tfrac13r)
Multiplicando por 3 para evitar frações, ficamos com w₂’=(-1,3,2,-1), que é ortogonal a w₁.

Passo 6

Verificamos que v₁, v₂ são ortogonais entre si, w₁, w₂’ são ortogonais entre si, e todo vᵢ é ortogonal a todo wⱼ (pois W=U^⊥). Logo {v₁,v₂,w₁,w₂’} é uma base ortogonal de R⁴.

Passo 7

Concluímos assim uma base ortogonal de R⁴ que respeita a soma direta U⊕W.

Resposta

Uma base ortogonal para R⁴ é: (1,1,-1,0), (-2,1,-1,3), (1,0,1,1), (-1,3,2,-1).

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