Questão-9. Seja o subespaço vetorial
. Determine: O subespaço
tal que
a) Uma base ortogonal para o
a) Uma base ortogonal para o
Passo 1
O enunciado diz que temos o subespaço vetorial U gerado pelos vetores u₁=(1,1,−1,0) e u₂=(−1,0,0,1), e pede um subespaço W tal que R⁴=U⊕W e, em seguida, uma base ortogonal de R⁴ que combine U e W. O conteúdo envolve soma direta de subespaços, complemento ortogonal e ortogonalização (Gram–Schmidt).
Passo 2
Primeiro, escolhemos como base de U os vetores u₁ e u₂. Para construir uma base ortogonal de R⁴, vamos ortogonalizar estes dois vetores usando o processo de Gram–Schmidt.
Passo 3
Aplicando Gram–Schmidt em u₁ e u₂: definimos v₁=u₁=(1,1,−1,0). Depois calculamos v₂=u₂−proj_{v₁}(u₂), em que
(u₂·v₁)=−1, (v₁·v₁)=3, então
e
Para evitar frações, podemos multiplicar v₂ por 3, ficando v₂=(−2,1,−1,3), que mantém a ortogonalidade.
Passo 4
Agora determinamos W=U^⊥, isto é, todos os x=(x₁,x₂,x₃,x₄) que satisfazem x·u₁=0 e x·u₂=0. Isso dá o sistema
Daí x₃=x₁+x₂ e x₄=x₁. Tomando parâmetros t=x₁ e s=x₂, obtemos a base de W: w₁=(1,0,1,1) e w₂=(0,1,1,0).
Passo 5
Para ter uma base ortogonal em R⁴, precisamos também ortogonalizar w₁ e w₂ entre si. Aplicamos Gram–Schmidt em W: mantemos w₁=(1,0,1,1) e definimos
Multiplicando por 3 para evitar frações, ficamos com w₂’=(-1,3,2,-1), que é ortogonal a w₁.
Passo 6
Verificamos que v₁, v₂ são ortogonais entre si, w₁, w₂’ são ortogonais entre si, e todo vᵢ é ortogonal a todo wⱼ (pois W=U^⊥). Logo {v₁,v₂,w₁,w₂’} é uma base ortogonal de R⁴.
Passo 7
Concluímos assim uma base ortogonal de R⁴ que respeita a soma direta U⊕W.
Resposta
Uma base ortogonal para R⁴ é: (1,1,-1,0), (-2,1,-1,3), (1,0,1,1), (-1,3,2,-1).