Verifique se os conjuntos abaixo são linearmente dependente ou linearmente independentes:
D=(1+2 x-x^2),(2-x+3 x^2),(3-4 x+7 x^2);

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de polinômios
p1(x)=1+2x-x^2,;p2(x)=2-x+3x^2,;p3(x)=3-4x+7x^2
e pede para verificar se eles são linearmente independentes em R2[x].
Vamos usar a definição: são linearmente dependentes se existir uma combinação não trivial
alpha p1 + beta p2 + gamma p3 = 0 (polinômio zero).

Passo 2

Assumimos a combinação
alpha(1 + 2x - x^2) + beta(2 - x + 3x^2) + gamma(3 - 4x + 7x^2) = 0
e igualamos coeficientes de x^2, x e termo constante a zero, obtendo o sistema
-alpha + 3beta + 7gamma = 0, 2alpha - beta - 4gamma = 0, alpha + 2beta + 3gamma = 0

Passo 3

Montamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
det -1 & 3 & 7 2 & -1 & -4 1 & 2 & 3 = -1cdot(-1cdot3 - (-4)cdot2) -3cdot(2cdot3 - (-4)cdot1) +7cdot(2cdot2 - (-1)cdot1) = -5 - 30 + 35 = 0
Como o determinante é zero, há solução não trivial para alpha,beta,gamma, logo os polinômios são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto D é linearmente dependente.

Exercícios relacionados