Questão 10. Considere as seguintes afirmações.
(I) Resolvendo-se a equação
, obtemos uma família de soluções a 1 parâmetro
, de modo que analisando a solução particular para
e fazendo
, temos que
.
(II) Diremos que duas famílias de curvas
e
são trajetórias ortogonais, se cada curva da família
intercepta todas as curvas da família
sob o ângulo de
.
(III) Admitindo-se que uma certa população é descrita pelo modelo de crescimento exponencial de Malthus e sabendo-se que a quantidade de indivíduos presentes nesta população triplica em 30 meses, é possivel afirmar que esta população quadruplicará em um tempo maior do que 40 meses.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) Existe apenas uma alternativa falsa
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra e.
(I) Resolvendo-se a equação
(II) Diremos que duas famílias de curvas
(III) Admitindo-se que uma certa população é descrita pelo modelo de crescimento exponencial de Malthus e sabendo-se que a quantidade de indivíduos presentes nesta população triplica em 30 meses, é possivel afirmar que esta população quadruplicará em um tempo maior do que 40 meses.
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) Existe apenas uma alternativa falsa
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre (I) uma equação diferencial de primeira ordem do tipo separável, (II) o conceito de trajetórias ortogonais de famílias de curvas e (III) o modelo de crescimento exponencial de Malthus. Vamos verificar a veracidade de cada uma.
Passo 2
Analisando (I): a equação
é separável, pois
. Escrevendo
e integrando,
Daí
que é uma família a um parâmetro
. Para
obtemos
, e quando
claramente
. Logo, (I) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (II): por definição, duas famílias de curvas
e
são ortogonais quando todo ponto de interseção entre qualquer curva de
e qualquer curva de
forma ângulo reto (
). Portanto, (II) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (III): no modelo exponencial de Malthus temos
Se triplica em 30 meses,
, logo
. Para quadruplicar queremos
, isto é
Como
, a afirmação de que quaduplicará em tempo maior que 40 meses é falsa. Logo, (III) é falsa.
Passo 5
Das três afirmações, apenas (III) é falsa. Logo existe apenas uma alternativa falsa, o que corresponde à letra (e).
Resposta
(e)