Questão 10. Considere as seguintes afirmações.
(I) Resolvendo-se a equação y^prime-x y^2=0, obtemos uma família de soluções a 1 parâmetro C, de modo que analisando a solução particular para C=0 e fazendo x +infty, temos que y 0.
(II) Diremos que duas famílias de curvas F1 e F2 são trajetórias ortogonais, se cada curva da família F1 intercepta todas as curvas da família F2 sob o ângulo de 90^circ.
(III) Admitindo-se que uma certa população é descrita pelo modelo de crescimento exponencial de Malthus e sabendo-se que a quantidade de indivíduos presentes nesta população triplica em 30 meses, é possivel afirmar que esta população quadruplicará em um tempo maior do que 40 meses.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) Existe apenas uma alternativa falsa
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores

Resposta. A alternativa correta é a letra e.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre (I) uma equação diferencial de primeira ordem do tipo separável, (II) o conceito de trajetórias ortogonais de famílias de curvas e (III) o modelo de crescimento exponencial de Malthus. Vamos verificar a veracidade de cada uma.

Passo 2

Analisando (I): a equação
y' - x,y^2 = 0
é separável, pois y'=dydx. Escrevendo
dyy^2 = x,dx
e integrando,
-1y = x^22 + C
Daí
y(x) = -1x^22+C,
que é uma família a um parâmetro C. Para C=0 obtemos y=-2/x^2, e quando xto+infty claramente yto0. Logo, (I) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (II): por definição, duas famílias de curvas F1 e F2 são ortogonais quando todo ponto de interseção entre qualquer curva de F1 e qualquer curva de F2 forma ângulo reto ( 90^circ). Portanto, (II) é verdadeira.

Passo 4

Analisando (III): no modelo exponencial de Malthus temos
N(t)=N0 e^r t
Se triplica em 30 meses, e^rcdot30=3, logo r=tfrac130ln3. Para quadruplicar queremos e^r t=4, isto é
t=ln4r=30ln4ln3approx30cdot1,2619approx37,9 meses
Como 37,9<40, a afirmação de que quaduplicará em tempo maior que 40 meses é falsa. Logo, (III) é falsa.

Passo 5

Das três afirmações, apenas (III) é falsa. Logo existe apenas uma alternativa falsa, o que corresponde à letra (e).

Resposta

(e)

Exercícios relacionados